【数据结构】跳表

写在前面的话

跳表实际上是一种非常好使的数据结构，但由于用的人比较少，所以在OI竞赛中并不常用，但其效率是很高的。想要深入研究的同学可以研究：

《让算法的效率“跳起来”！ 》—— 魏冉

《线段跳表——跳表的一个拓展》——李骥扬

这两位大神的论文

跳表的定义

跳表的每一层都是一个链表

每一条链表的两端必须是−∞和+∞

每条链的元素必须包含于序数较低的链的元素集合

下图是一个链表

跳表的搜索操作

跳表的普通搜索操作

设当前结点为u，待搜索的数为t

跳表的搜索过程如下：

- 如果u=t，搜索结束，当前位置即为搜索结果

- 如果u的右结点不大于t，则向右移动至右结点

- 如果u的右结点大于t，且存在下一层，则向下移动至下一层对应结点

- 如果u的右结点大于t，且不存在下一层，则搜索结束，无结果

举一个例子：在上图中的跳表中搜索6

跳表的记忆化搜索操作

跳表的记忆化搜索就是在普通搜索的基础上，提取出上一次搜索的每一层的最后一个结点，比如讲上述搜索例子中提取可以得到：



其中橙色结点为每一层的末端。

之后我们找到第一个小于待搜索元素的末端结点，从该结点开始搜索，例如搜索 5 这个元素：

首先找到起始结点：



然后搜索：



这种搜索方式在前后搜索数据有关联的时候尤为管用

跳表的插入操作

跳表的插入分为三步：

- 搜索待插入元素

- 在搜索结束的地方插入

- 由随机决策模块决定新元素的层数，并向上加层

例如在下图链表中添加元素15：



搜索后得到待插入元素的位置：



插入后运行随即决策模块得到层数，比如说是3层，则需要向上增加层数：



于是我们就成功地将15插入到了这个跳表之中。

然后我们来看随即决策模块

给定一个常数P

H <- 0
While True
R <- random(0~1)
If R < P Then
H++
Else Do
Break
End

在这个随机决策模块中，我们是从H层按P的概率向上增加层数，所以很容易得到一个性质：

对于一个元素，它所在列的高度大于等于k的概率为Pk−1

这个重要的性质将会在分析复杂度的时候反复用到。

跳表的删除操作

删除操作就是先查找，找到后删掉，举个例子，在下图的跳表中删除元素9：