魔术球问题[网络流24题之4]

问题描述：

假设有 n 根柱子，现要按下述规则在这 n 根柱子中依次放入编号为 1，2，3，... 的球。

（1） 每次只能在某根柱子的最上面放球。

（2） 在同一根柱子中，任何 2 个相邻球的编号之和为完全平方数。

试设计一个算法，计算出在 n 根柱子上最多能放多少个球。例如，在 4 根柱子上最多可放 11 个球。

编程任务：

对于给定的 n ，计算在 n 根柱子上最多能放多少个球。

数据输入：

第 1 行有 1 个正整数 n ，表示柱子数。

结果输出:

n 根柱子上最多能放的球数

输入示例：

4

输出示例：

11

分析：

这个题目和最小路径覆盖问题差不多（几乎是一样的），对于每一个 x+y=i2(x<y)，依照题意我们知道 x,y 都能且只能使用一次，所以我们可以把每一个数字 x 拆成 x1 和 x0，其中 x1 加上一个比 x1 小的数字构成一个完全平方数， x0 加上一个比 x0 大的数构成一个完全平方数，再把所有的 (y0,z1)(y0+z1=i2,y0<z1,i∈N+) 之间连一条有向边就是一个二分图匹配的问题了，下面给出构造图 N 的过程

1 ：新增一个源 S 和汇 T

2 ：把当前的整数 x 拆成 x0 和 x1

3 ：连接一条容量为 1 ，从 S 到 x0 的有向边

4 ：连接一条容量为 1 ，从 x1 到 T 的有向边

5 ：连接一条容量为 1 ，从 x0 到 k(x0+k=i2,k∈N+,i∈N+) 的有向边

对于每一个数字执行完以上的 2−5 步之后如果不能在图 N 增加一点流量的话，就需要用一个新的柱子，当需要第 n+1 根柱子是，程序结束，当前数字减一就是最后的解

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

int tot;
int head[4747],nxt[47047],to[47047],wei[47047];
int c[4747];
int que[4747];
int n;
int num;
int now;

void add(int,int);
bool bfs();
bool dinic(int);

int main(){

freopen("ball.in","r",stdin);
freopen("ball.out","w",stdout);

scanf("%d",&n);

while(now <= n){

++num;
add(1,num<<1);
add((num<<1)+1,146);
for(int i=sqrt(num)+1;i*i<(num<<1);i++)
add((i*i-num)<<1,(num<<1)+1);
if(bfs())
dinic(1);
else
++now;

}

printf("%d",num-1);

return 0;

}

void add(int from,int tp){

++tot;nxt[tot]=head[from];head[from]=tot;to[tot]=tp;wei[tot]=1;
++tot;nxt[tot]=head[tp];head[tp]=tot;to[tot]=from;wei[tot]=0;

}

bool bfs(){

memset(c,0,sizeof c);
c[1] = 1;
que[1] = 1;

int H=0,T=1,now;

do{
now = que[++H];
for(int i=head[now];i;i=nxt[i])
if(!c[to[i]] && wei[i]){
c[to[i]] = c[now]+1;
que[++T] = to[i];
}
}while(H<T);

return c[146];

}

bool dinic(int place){

if(place == 146)
return true;

for(int i=head[place];i;i=nxt[i])
if(c[to[i]]==c[place]+1 && wei[i])
if(dinic(to[i])){
--wei[i];
++wei[i^1];
return true;
}

return false;

}