数据结构算法及应用——二叉树

一、二叉树性质

特性1 包含n (n> 0 )个元素的二叉树边数为n-1

特性2 二叉树的高度（height）或深度（depth）是指该二叉树的层数（有几层元素，而不是有层的元素间隔）

特性3 若二叉树的高度为h，h≥0，则该二叉树最少有h个元素，最多有(2^h – 1)个元素。

特性4 包含n 个元素的二叉树的高度最大为n，最小[log2 (n+1)]

二、满二叉树:

当高度为h 的二叉树恰好有2^h - 1个元素时，称其为满二叉树.





 

 

 

 

 

三、完全二叉树

假设对高度为h 的满二叉树中的元素按从第上到下，从左到右的顺序从1到2^h- 1进行编号（如图8 - 6所示）。假设从满二叉树中删除k个元素，其编号为2^h -i, 1≤i≤k，所得到的二叉树被称为完全二叉树.

注意满二叉树是完全二叉树的一个特例，并且，注意有n个元素的完全二叉树的深度为[log2 (n+1)]





特性5 设完全二叉树中一元素的序号为i, 1≤i≤n。则有以下关系成立：
1) 当i = 1时，该元素为二叉树的根。若i > 1，则该元素父节点的编号为  下取整【i/2】
2) 当2i >n时，该元素无左孩子。否则，其左孩子的编号为2i。
3) 若2i + 1 >n，该元素无右孩子。否则，其右孩子编号为2i + 1。

四、二叉树的遍历

• 前序遍历。
• 中序遍历。
• 后序遍历。
• 逐层遍历。

在进行前序遍历时，每个节点是在其左右子树被访问之前进行访问的；

在中序遍历时，首先访问左子树，然后访问子树的根节点，最后访问右子树。

在后序遍历时，当左右子树均访问完之后才访问子树的根节点。

五、源码

1.InterfaceBinaryTree 类

#pragma once
/*
T为BinaryTreeNode<U>类型的数据
*/
template<class T>
class InterfaceBinaryTree {
//如果二叉树为空，则返回true ，否则返回false
virtual bool IsEmpty() const=0;

//返回二叉树的大小
virtual int Size()const = 0;

//前序遍历
virtual void PreOrder(void (*)(T *))const=0;   //参数是一个指向 void Func（T*)类型的函数指针

//中序遍历
virtual void InOrder(void(*)(T *))const=0;

//后序遍历
virtual void PostOrder(void(*)(T *))const=0;

//逐层遍历
virtual void LevelOrder(void(*)(T *))const=0;
};

2.BinaryTreeNode类

#pragma once
template<class T>
class BinaryTreeNode{
public:
template<class  T> friend class BinaryTree;

BinaryTreeNode() {
leftChild = rightChild = 0;
}
BinaryTreeNode(const T &data) {
this->data = data;
leftChild = rightChild = 0;
}
BinaryTreeNode(const T &data, BinaryTreeNode<T> *leftSubTree, BinaryTreeNode<T> *rightSubTree) {
this->data = data;
leftChild = leftSubTree;
rightChild = rightSubTree;
}

private:
T data;
BinaryTreeNode<T> *leftChild;
BinaryTreeNode<T> *rightChild;

};

3.BinaryTree类

#pragma once
#include"BinaryTreeNode.h"
#include"InterfaceBinaryTree.h"
#include"MyException.h"
#include<iostream>
using namespace std;
template<class T>
class BinaryTree:public InterfaceBinaryTree<BinaryTreeNode<T>> {
public:
BinaryTree() { root = 0; }
~BinaryTree() {};
//如果二叉树为空，则返回true ，否则返回false
bool IsEmpty() const {
return (root == 0) ? true : false;
}
//取根节点的数据域放入x；如果操作失败，则返回false，否则返回true
bool Root(T &x)const;
//创建一个二叉树，root作为根节点， left作为左子树，right作为右子树
void MakeTree(const T &element, BinaryTree<T> &left, BinaryTree<T> &right);
//拆分二叉树
void BreakTree(T &element, BinaryTree<T> &left, BinaryTree<T> &right);

void PreOrderOutput() const {
PreOrder(output);
}
void InOrderOutput()const {
InOrder(output);
}
void PostOrderOutput()const {
PostOrder(output);
}

//前序遍历
void PreOrder(void(*theVisit)(BinaryTreeNode<T>*))const {
visit = theVisit; _preOrder(root);
}
//中序遍历
void InOrder(void(*theVisit)(BinaryTreeNode<T>*))const {
visit = theVisit; _inOrder(root);
}
//后序遍历
void PostOrder(void(*theVisit)(BinaryTreeNode<T>*))const {
visit = theVisit; _postOrder(root);
}
//逐层遍历
void LevelOrder(void(*theVisit)(BinaryTreeNode<T>*))const {
visit = theVisit; _levelOrder(root);
}

void Delete() {
PostOrder(free);
root = 0;
}
int Height()const {
return height(root);
}
int Size()const {
count = 0;
InOrder(addCount);
return count;
}
protected:
static void _preOrder(BinaryTreeNode<T> *root);
static void _inOrder(BinaryTreeNode<T> *root);
static void _postOrder(BinaryTreeNode<T> *root);
static void _levelOrder(BinaryTreeNode<T> *root);

static void(*visit)(BinaryTreeNode<T> *);          //函数指针，用于遍历时的函数访问
static void output(BinaryTreeNode<T> *t) {
cout << t->data << " ";
}
static void free(BinaryTreeNode<T> *t) {
delete t;
}
static void addCount(BinaryTreeNode<T> *t) {
count++;
}
static int height(BinaryTreeNode<T> *t);

private:
BinaryTreeNode<T> *root;
static int count;

};

//访问函数的函数指针
template<class T>
void(*BinaryTree<T>::visit)(BinaryTreeNode<T>*);
template<class T>
int BinaryTree<T>::count = 0;

//前序遍历
template<class T>
void BinaryTree<T>::_preOrder(BinaryTreeNode<T> *root) {
if (root != 0) {
BinaryTree<T>::visit(root);
_preOrder(root->leftChild);
_preOrder(root->rightChild);
}
}
//中序遍历
template<class T>
void BinaryTree<T>::_inOrder(BinaryTreeNode<T> *root) {
if (root != 0) {
_inOrder(root->leftChild);
BinaryTree<T>::visit(root);
_inOrder(root->rightChild);
}
}
//后序遍历
template<class T>
void BinaryTree<T>::_postOrder(BinaryTreeNode<T> *root) {
if (root != 0) {
_postOrder(root->leftChild);
_postOrder(root->rightChild);
BinaryTree<T>::visit(root);
}
}
//逐层遍历
template<class T>
void BinaryTree<T>::_levelOrder(BinaryTreeNode<T> *root) {

}

//取根节点的数据域放入x；如果操作失败，则返回false，否则返回true
template<class T>
bool BinaryTree<T>::Root(T &x)const {
if (root == 0) {
return false;
}
x = root->data;
return true;
}
/*生成一个二叉树，新建一个BinaryTreeNode节点，使其值为element，左子树为left，右子树为right*/
template<class T>
void BinaryTree<T>::MakeTree(const T &element, BinaryTree<T> &left, BinaryTree<T> &right) {
root = new BinaryTreeNode<T>(element, left.root, right.root);
left.root = right.root = 0;
}
/*将一个二叉树拆分成左子树和右子树两部分，根节点的值保存到element*/
template<class T>
void BinaryTree<T>::BreakTree(T &element, BinaryTree<T> &left, BinaryTree<T> &right) {
if (root == 0)
throw BadInput();
element = root->data;
left.root = root->leftChild;
right.root = root->rightChild;
delete root;                   //删除原来根节点的内存
root = 0;
}
/*求二叉树的高度*/
template<class T>
int BinaryTree<T>::height(BinaryTreeNode<T> *t) {
if (t == 0)
return 0;
int leftHeight = height(t->leftChild);   //左子树的高度
int rightHeight = height(t->rightChild); //右子树的高度

//返回左右子树中的最大值加一
if (leftHeight > rightHeight)
return ++leftHeight;
else
return ++rightHeight;
}

4.MyException类

#pragma once
#pragma once
// exception classes for various error types

#include<iostream>
#include <string>

using namespace std;

class NoMem {
public:
NoMem() {
this->message = "内存不足";
}
NoMem(string msg) {
this->message = msg;
}
void OutputMessage() {
cout << message << endl;
}

private:
string message;

};
class OutOfBounds {
public:
OutOfBounds() {
this->message = "输入超过了数组的界";
}
OutOfBounds(string msg) {
this->message = msg;
}
void OutputMessage() {
cout << message << endl;
}

private:
string message;

};
class BadInput {
public:
BadInput() {
this->message = "输入有误";
}
BadInput(string msg) {
this->message = msg;
}
void OutputMessage() {
cout << message << endl;
}
private:
string message;
};