java实现算法之堆排序

本文参考文章：http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/6709644

堆排序与快速排序，归并排序一样都是时间复杂度为O(N*logN)的几种常见排序方法。学习堆排序前，先讲解下什么是数据结构中的二叉堆。

二叉堆的定义

二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。

二叉堆满足二个特性：

1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。

2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。下图展示一个最小堆：



由于其它几种堆（二项式堆，斐波纳契堆等）用的较少，一般将二叉堆就简称为堆。

堆的存储

一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

堆的操作——插入删除

下面先给出《数据结构C++语言描述》中最小堆的建立插入删除的图解，再给出本人的实现代码，最好是先看明白图后再去看代码。

堆的插入

每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中，代码：

/**
* 新加入i结点  其父结点为(i - 1) / 2
* 新插入的節點都是位於數組末尾，从该节点开始检查，类似“上浮”的过程
* @param a
* @param i
*/
static void minHeapFixup (int[] a, int i) {
int j, temp;
temp = a[i];
j = (i - 1) / 2;//父节点
while (j > 0 && i != 0) {
if (a[j] <= temp) {
break;
}
a[i] = a[j]; //把较大的子结点往下移动,替换它的子结点
i = j;
j = (i - 1) / 2;
}
a[i] = temp;
}

插入时：

//在最小堆中插入元素时
static void minHeapAddNumber(int[] a, int n, int value) {
a
= value;
minHeapFixup(a, n);
}

堆的删除

按定义，堆中每次都只能删除第0个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。下面给出代码：

// 从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 。i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2。删除的调整过程有点类似“下沉”过程
static void minHeapFixdown(int[] a, int i, int n) {
int temp = a[i];
int j = 2 * i + 1;//左儿子
while (j < n) {
if (j + 1 < n && a[j] > a[j + 1]) {//选出两个孩子中较小的孩子
j++;
}
if (a[j] >= temp) {
break;
}
a[i] = a[j]; //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点
i = j;
j = 2 * i + 1;
}
a[i] = temp;
}

/**
* 删除小顶堆，是删除第一个元素，用最后的元素填充到第一个元素。
* 其实，也就是第一个与最后一个元素交换，然后长度缩短一个就可以实现。
* 小顶堆采取这种方式排序出来，最后得到的是从大到小的逆序。因为每次都将最小的交换到最后。
* @param a
* @param first
* @param n
*/
static void minHeapDeleteNumber(int a[], int n) {
int temp = a[0];
a[0] = a[n - 1];
a[n - 1] = temp;
minHeapFixdown(a, 0, n - 1);
}

堆化数组

有了堆的插入和删除后，再考虑下如何对一个数据进行堆化操作。要一个一个的从数组中取出数据来建立堆吧，不用！先看一个数组，如下图：



很明显，对叶子结点来说，可以认为它已经是一个合法的堆了即20，60， 65， 4， 49都分别是一个合法的堆。只要从A[4]=50开始向下调整就可以了。然后再取A[3]=30，A[2] = 17，A[1] = 12，A[0] = 9分别作一次向下调整操作就可以了。下图展示了这些步骤：



写出堆化数组的代码：

/**
* 数组元素来生成小顶堆，从第n/2 - 1个元素开始，因为叶子元素已是合法的堆了
* @param a
* @param n
*/
static void makeMinHeap(int[] a, int n) {
for (int j = n / 2 - 1; j >= 0 ; j--) {
minHeapFixdown(a, j, n);
}
}

至此，堆的操作就全部完成了(注1)，再来看下如何用堆这种数据结构来进行排序。

堆排序

首先可以看到堆建好之后堆中第0个数据是堆中最小的数据。取出这个数据再执行下堆的删除操作。这样堆中第0个数据又是堆中最小的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。

由于堆也是用数组模拟的，故堆化数组后，第一次将A[0]与A[n - 1]交换，再对A[0…n-2]重新恢复堆。第二次将A[0]与A[n – 2]交换，再对A[0…n - 3]重新恢复堆，重复这样的操作直到A[0]与A[1]交换。由于每次都是将最小的数据并入到后面的有序区间，故操作完成后整个数组就有序了。有点类似于直接选择排序。

//堆排序，小顶堆，排序形成的是逆序的数组，过程就是交换第一个和最后一个元素，每次数组长度减少1
static void minheapSortToDescendArray(int[] a, int n) {
int temp;
for (int j = n - 1; j >= 0; j--) {
//交换
temp = a[0];
a[0] = a[j];
a[j] = temp;
//调整
minHeapFixdown(a, 0, j);
}
}

注意使用最小堆排序后是递减数组，要得到递增数组，可以使用最大堆。

由于每次重新恢复堆的时间复杂度为O(logN)，共N - 1次重新恢复堆操作，再加上前面建立堆时N / 2次向下调整，每次调整时间复杂度也为O(logN)。二次操作时间相加还是O(N * logN)。故堆排序的时间复杂度为O(N * logN)。
完整的实现代码如下：

package Algorithm.ylh.com;

import java.util.Arrays;

public class HeapSort {

public static void main(String[] args) {
int[] a = GenerateIntArray.getArray();
System.out.println(Arrays.toString(a));
makeMinHeap(a, a.length);//建堆
System.out.println(Arrays.toString(a));
minHeapDeleteNumber(a, a.length);//删除一个元素
System.out.println(Arrays.toString(a));
minHeapAddNumber(a, a.length - 1, 20);//添加一个元素
System.out.println(Arrays.toString(a));
minheapSortToDescendArray(a, a.length);//排序
System.out.println(Arrays.toString(a));
}

/**
* 新加入i结点  其父结点为(i - 1) / 2
* 新插入的節點都是位於數組末尾，从该节点开始检查，类似“上浮”的过程
* @param a
* @param i
*/
static void minHeapFixup (int[] a, int i) {
int j, temp;
temp = a[i];
j = (i - 1) / 2;//父节点
while (j > 0 && i != 0) {
if (a[j] <= temp) {
break;
}
a[i] = a[j]; //把较大的子结点往下移动,替换它的子结点
i = j;
j = (i - 1) / 2;
}
a[i] = temp;
}

//在最小堆中插入元素时
static void minHeapAddNumber(int[] a, int n, int value) {
a
= value;
minHeapFixup(a, n);
}

// 从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 。i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2。删除的调整过程有点类似“下沉”过程
static void minHeapFixdown(int[] a, int i, int n) {
int temp = a[i];
int j = 2 * i + 1;//左儿子
while (j < n) {
if (j + 1 < n && a[j] > a[j + 1]) {//选出两个孩子中较小的孩子
j++;
}
if (a[j] >= temp) {
break;
}
a[i] = a[j]; //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点
i = j;
j = 2 * i + 1;
}
a[i] = temp;
}

/**
* 删除小顶堆，是删除第一个元素，用最后的元素填充到第一个元素。
* 其实，也就是第一个与最后一个元素交换，然后长度缩短一个就可以实现。
* 小顶堆采取这种方式排序出来，最后得到的是从大到小的逆序。因为每次都将最小的交换到最后。
* @param a
* @param first
* @param n
*/
static void minHeapDeleteNumber(int a[], int n) {
int temp = a[0];
a[0] = a[n - 1];
a[n - 1] = temp;
minHeapFixdown(a, 0, n - 1);
}

/**
* 数组元素来生成小顶堆，从第n/2 - 1个元素开始，因为叶子元素已是合法的堆了
* @param a
* @param n
*/
static void makeMinHeap(int[] a, int n) {
for (int j = n / 2 - 1; j >= 0 ; j--) {
minHeapFixdown(a, j, n);
}
}

//堆排序，小顶堆，排序形成的是逆序的数组，过程就是交换第一个和最后一个元素，每次数组长度减少1
static void minheapSortToDescendArray(int[] a, int n) {
int temp;
for (int j = n - 1; j >= 0; j--) {
//交换
temp = a[0];
a[0] = a[j];
a[j] = temp;
//调整
minHeapFixdown(a, 0, j);
}
}
}