数据结构与算法——最短路径Dijkstra算法的C++实现

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之前的讨论了无权图的最短路径算法。数据结构与算法——无权最短路径算法的C++实现

如果是加权图，那么问题就变得困难了，不过仍然可以采用无权情况的想法。

我们仍然保留之前的信息。因此，每个顶点会被标记为known或unknown，每个顶点保留一个尝试性的距离dv（这个距离是只使用一些known顶点作为中间顶点从s到v的最短路径的长），每个顶点还保留字段pv，该字段是记录引起dv变化的最后的顶点。

图顶点信息的数据结构：

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//保存每个顶点信息的数据结构

struct GraphNode{

bool known;//当前顶点距离起点的距离是否确定

int dist;//当前顶点到起点的最短距离

int path;//当前顶点距离起点的最短路径的前一个顶点

};

Dijkstra算法简介：

解决单源最短路径问题的一般方法叫做Dijkstra算法。这个算法是贪心算法最好的例子。
贪心算法一般分阶段求解问题，在每个阶段它都把出现的东西当作是最好的去处理。

与无权最短路径算法一样，Dijkstra算法按阶段进行。在每个阶段，Dijkstra算法选择一个顶点v,它在所有的unknown顶点中具有最小的dv，同时算法声明从s到v的最短路径是known的。其它阶段由顶点dv的更新工作成。

主要思想就是根据已经确定了的点的距离，来确定该点相邻顶点的距离，不断的向外散射，直到所以的点的到起点的最短距离确定为止。

下面是Dijkstra算法具体步骤图示：

假设源点s=v1，下面是求s到其它点的最短距离。

第一步：初始化顶点信息

第二步：

顶点v1就是顶点s，那么距离顶点v1路径长为0，将顶点v1字段的known设为true。
与s相邻的点为v2,v4。v1到v2的距离为4，v1到v4的距离为1。并更新v2和v4的距离。
p2 = v1; p4 = v1;

第三步：

寻找unknown的顶点中距离最短的顶点，并将该顶点标记为known。所以将v4标记为known。
然后，再根据顶点v4的dv值更新与v4相邻的所有点（v3,v6,v7,v5）的距离。
d4+d43 = 1+2 < d3,所以d3 = 3;p3 = v4;
d4+d46 = 1+8 < d6,所以d6 = 9;p6 = v4;
d4+d47 = 1+4 < d7,所以d7 = 5;p7 = v4;
d4+d45 = 1+2 < d5,所以d5 = 3;p5 = v4;

第四步：

执行第三步，寻找unknown的顶点中距离最短的顶点，并将该顶点标记为known。所以将v2标记为known。
然后，再根据顶点v2的dv值更新与v2相邻的所有点（v4,v5）的距离。因为v4已经确定了，就不用更新了。因为d2+d25 = 2 + 10 > d5,d5的值为3。所以不需要更新d5。

第五步：

执行第三步，寻找unknown的顶点中距离最短的顶点，并将该顶点标记为known。所以将v5标记为known。
然后，再根据顶点v5的dv值更新与v5相邻的所有点（v7）的距离。因为d5+d57 = 3+6>d7,所以d7不用更新。

第六步：

执行第三步，寻找unknown的顶点中距离最短的顶点，并将该顶点标记为known。所以将v3标记为known。
然后，再根据顶点v3的dv值更新与v3相邻的所有点（v1，v6）的距离。因为v1是known的，所以d1不用更新。d3+d36 = 3+5 < d6，所以d6 = d3+d36 = 8; p6 = v3;

第七步：

执行第三步，寻找unknown的顶点中距离最短的顶点，并将该顶点标记为known。所以将v7标记为known。
然后，再根据顶点v7的dv值更新与v7相邻的所有点（v6）的距离。因为d7+d76 = 5+1<d6,所以d6=d7+d76 = 6; p6 = v7;

第八步：

执行第三步，寻找unknown的顶点中距离最短的顶点，并将该顶点标记为known。所以将v6标记为known。
然后，再根据顶点v6的dv值更新与v6相邻的所有点的距离。结果没有v6指向的其它顶点。

第九步：

执行第三步，寻找unknown的顶点中距离最短的顶点，并将该顶点标记为known。结果没有找到满足条件的顶点，表明此时已经确定了所有顶点的距离，则退出算法。

Dijkstra算法的基本步骤：

1、初始化顶点信息；v.known = flase; v.dist = INFINITY; v.path
= 0;
2、对起点s的dist字段设为0;s.dist = 0;
3、从所有顶点中找到dist最小的并且known为false的顶点v。然后将该顶点v的known置为true;
然后更新与顶点v相邻的所有其它known为false的顶点w的dist和path的值。
如果v.dist+distance(v,w) < w.dist;则更新w.dist = v.dist + distance(v, w);w.path=v;
4、循环执行第3步，直到从所有顶点中找不到known为false的顶点v为止，找不到合适的顶点的时候则退出算法。

Dijkstra算法的伪代码：

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void Graph::dijkstra(Vertex s)

{

//初始化顶点信息

for each Vertex v

{

v.known = false;

v.dist = INFINITY;

v.path = 0;

}

//起点s的dist设为0

s.dist = 0;

//循环执行第3步

for(; ;)

{

//从所有顶点中找到dist最小的并且known为false的顶点v

Vertex v = unknown smallest distance vertex;

//如果没有找到满足条件的v，则退出算法（此时所有顶点已经全部确定了）

if(v == NOT_A_VERTEX)

break;

//将该顶点v的known置为true

v.known = true;

//更新与顶点v相邻的所有其它known为false的顶点w的dist和path的值

for each Vertex w adjacent to v

{

if(!w.known)

{

//更新w.dist

if(v.dist+distance(v,w) < w.dist)

{

w.dist = v.dist + distance(v,w);

w.path = v;

}

}

}

}

}

Dijkstra算法的代码：

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/*************************************************

* 函数名称：dijkstra(int src)

* 功能描述：求无权图的任意点到其它顶点的距离

* 参数列表：src是起点

* 返回结果：void

*************************************************/

void Graph::dijkstra(int src)

{

//初始化顶点信息

for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){

nodeArr[i].known = false;

nodeArr[i].dist = INFINITY;

nodeArr[i].path = 0;

}

//重要的一步，开启算法的关键一步

nodeArr[src].dist = 0;

for(; ;){

//找到unknown的dist最小的顶点

int v = 0;

int max = INFINITY;

for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){

if(!nodeArr[i].known && (max > nodeArr[i].dist)){

max = nodeArr[i].dist;

v = i;

}

}

//没有找到满足条件的顶点,退出算法

if(max == INFINITY)

break;

nodeArr[v].known = true;

//更新与v相邻所有顶点w的dist,path

for(list<Node>::iterator it = graph_list[v].begin(); it != graph_list[v].end(); ++it){

if(!nodeArr[(*it).vertex].known){

if(nodeArr[v].dist + (*it).weight < nodeArr[(*it).vertex].dist){

nodeArr[(*it).vertex].dist = nodeArr[v].dist + (*it).weight;

nodeArr[(*it).vertex].path = v;

}

}

}

}

}

图类的接口：

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/*******************************************************

* 类名称： 邻接表图

********************************************************/

class Graph{

private:

int edge_num;//图边的个数

int vertex_num;//图的顶点数目

list<Node> * graph_list;//邻接表

vector<GraphNode> nodeArr;//保存每个顶点信息的数组

public:

Graph(){}

Graph(char* graph[], int edgenum);

~Graph();

void print();

void dijkstra(int src);

void printShorestPath();

private:

vector<int> get_graph_value(char* graph[], int columns);

void addEdge(char* graph[], int columns);

};

测试主函数：

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int main(int argc, char *argv[])

{

char *topo[5000];

int edge_num;

char *demand;

int demand_num;

char *topo_file = argv[1];

edge_num = read_file(topo, 5000, topo_file);

if (edge_num == 0)

{

printf("Please input valid topo file.\n");

return -1;

}

int src;

cout << "输入求最短路径的起点：";

cin >> src;

Graph G(topo, edge_num);

G.print();

cout << "Dijkstra: " << endl;

G.dijkstra(src);

G.printShorestPath();

release_buff(topo, edge_num);

return 0;

}

测试的图的数据：

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1,1,2,2

2,1,4,1

3,2,4,3

4,2,5,10

5,3,1,4

6,3,6,5

7,4,3,2

8,4,6,8

9,4,5,2

10,4,7,4

11,5,7,6

12,7,6,1

图类的源代码：

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#ifndef GRAPH_H

#define GRAPH_H

#include <list>

#include <iostream>

#include <vector>

#include <stdlib.h>

#include <string.h>

#include <algorithm>

#include <iterator>

#include <stdio.h>

#include <errno.h>

#include <unistd.h>

#include <signal.h>

#include <queue>

using namespace std;

#define MAX_VERTEX_NUM 600

#define INFINITY 1000000//将INFINITY定义为无穷大的值

//保存每个顶点信息的数据结构

struct GraphNode{

bool known;//当前顶点距离起点的距离是否确定

int dist;//当前顶点到起点的最短距离

int path;//当前顶点距离起点的最短路径的前一个顶点

};

//图节点信息

typedef struct Node{

int edge_num;//边号

int src;//源点

int vertex;//自身

int weight;//边的权重

}Node;

/*******************************************************

* 类名称： 邻接表图

********************************************************/

class Graph{

private:

int edge_num;//图边的个数

int vertex_num;//图的顶点数目

list<Node> * graph_list;//邻接表

vector<GraphNode> nodeArr;//保存每个顶点信息的数组

public:

Graph(){}

Graph(char* graph[], int edgenum);

~Graph();

void print();

void dijkstra(int src);

void printShorestPath();

private:

vector<int> get_graph_value(char* graph[], int columns);

void addEdge(char* graph[], int columns);

};

/*************************************************

* 函数名称：dijkstra(int src)

* 功能描述：求无权图的任意点到其它顶点的距离

* 参数列表：src是起点

* 返回结果：void

*************************************************/

void Graph::dijkstra(int src)

{

//初始化顶点信息

for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){

nodeArr[i].known = false;

nodeArr[i].dist = INFINITY;

nodeArr[i].path = 0;

}

//重要的一步，开启算法的关键一步

nodeArr[src].dist = 0;

for(; ;){

//找到unknown的dist最小的顶点

int v = 0;

int max = INFINITY;

for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){

if(!nodeArr[i].known && (max > nodeArr[i].dist)){

max = nodeArr[i].dist;

v = i;

}

}

//没有找到满足条件的顶点,退出算法

if(max == INFINITY)

break;

nodeArr[v].known = true;

//更新与v相邻所有顶点w的dist,path

for(list<Node>::iterator it = graph_list[v].begin(); it != graph_list[v].end(); ++it){

if(!nodeArr[(*it).vertex].known){

if(nodeArr[v].dist + (*it).weight < nodeArr[(*it).vertex].dist){

nodeArr[(*it).vertex].dist = nodeArr[v].dist + (*it).weight;

nodeArr[(*it).vertex].path = v;

}

}

}

}

}

/*************************************************

* 函数名称：printShorestPath()

* 功能描述：将获得的src顶点到其它顶点的最短路径输出

* 参数列表：无

* 返回结果：无

*************************************************/

void Graph::printShorestPath()

{

cout << "顶点\t" << "known\t" << "dist\t" << "path" << endl;

for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){

if(nodeArr[i].known)

cout << i << "\t" << nodeArr[i].known << "\t" << nodeArr[i].dist << "\t" << nodeArr[i].path << endl;

}

}

/*************************************************

* 函数名称：print

* 功能描述：将图的信息以邻接表的形式输出到标准输出

* 参数列表：无

* 返回结果：无

*************************************************/

void Graph::print()

{

cout << "******************************************************************" << endl;

//for(int i = 0 ; i < MAX_VERTEX_NUM; ++i){

for(int i = 0 ; i < vertex_num; ++i){

if(graph_list[i].begin() != graph_list[i].end()){

cout << i << "-->";

for(list<Node>::iterator it = graph_list[i].begin(); it != graph_list[i].end(); ++it){

cout << (*it).vertex << "(边号:" << (*it).edge_num << ",权重:" << (*it).weight << ")-->";

}

cout << "NULL" << endl;

}

}

cout << "******************************************************************" << endl;

}

/*************************************************

* 函数名称：get_graph_value

* 功能描述：将图的每一条边的信息保存到一个数组中

* 参数列表: graph：指向图信息的二维数组

columns:图的第几条边

* 返回结果：无

*************************************************/

vector<int> Graph::get_graph_value(char* graph[], int columns)

{

vector<int> v;

char buff[20];

int i = 0, j = 0, val;

memset(buff, 0, 20);

while((graph[columns][i] != '\n') && (graph[columns][i] != '\0')){

if(graph[columns][i] != ','){

buff[j] = graph[columns][i];

j++;

}

else{

j = 0;

val = atoi(buff);

v.push_back(val);

memset(buff, 0, 20);

}

i++;

}

val = atoi(buff);

v.push_back(val);

return v;

}

/*************************************************

* 函数名称：addEdge

* 功能描述：将图的每一条边的信息加入图的邻接表中

* 参数列表：graph：指向图信息的二维数组

columns:图的第几条边

* 返回结果：无

*************************************************/

void Graph::addEdge(char* graph[], int columns)

{

Node node;

vector<int> v = get_graph_value(graph, columns);

node.edge_num = v[0];

node.src = v[1];

node.vertex = v[2];

node.weight = v[3];

//根据顶点的标号，求的总的顶点数目

if(node.vertex > vertex_num)

vertex_num = node.vertex;

//要考虑重复的边，但是边的权重不一样

for(list<Node>::iterator it = graph_list[node.src].begin(); it != graph_list[node.src].end(); ++it){

if((*it).vertex == node.vertex){

if((*it).weight > node.weight){

(*it).weight = node.weight;

}

return;

}

}

graph_list[node.src].push_back(node);

}

/*************************************************

* 函数名称：构造函数

* 功能描述：以邻接表的形式保存图的信息,并保存必须经过的顶点

* 参数列表：graph：指向图信息的二维数组

edgenum:图的边的个数

* 返回结果：无

*************************************************/

Graph::Graph(char* graph[], int edgenum):nodeArr(MAX_VERTEX_NUM)

{

edge_num = edgenum;

vertex_num = 0;

graph_list = new list<Node>[MAX_VERTEX_NUM+1];

for(int i = 0; i < edgenum; ++i){

addEdge(graph, i);

}

//对顶点信息进行初始化

for(int i = 0; i < MAX_VERTEX_NUM; ++i){

nodeArr[i].known = false;

nodeArr[i].dist = INFINITY;

nodeArr[i].path = -1;//如果为-1，表示没有该点,配合dijkstra算法使用

}

vertex_num++;

}

/*************************************************

* 函数名称：析构函数

* 功能描述：释放动态分配的内存

* 参数列表：无

* 返回结果：无

*************************************************/

Graph::~Graph()

{

delete[] graph_list;

}

#endif

测试函数的源代码：

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#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <string.h>

#include <assert.h>

#include <time.h>

#include <sys/timeb.h>

#include <errno.h>

#include <unistd.h>

#include <signal.h>

#include <stdio.h>

#include "graphDijkstra.h"

#define MAX_LINE_LEN 4000

int read_file(char ** const buff, const unsigned int spec, const char * const filename);

void release_buff(char ** const buff, const int valid_item_num);

int main(int argc, char *argv[])

{

char *topo[5000];

int edge_num;

char *demand;

int demand_num;

char *topo_file = argv[1];

edge_num = read_file(topo, 5000, topo_file);

if (edge_num == 0)

{

printf("Please input valid topo file.\n");

return -1;

}

int src;

cout << "输入求最短路径的起点：";

cin >> src;

Graph G(topo, edge_num);

G.print();

cout << "Dijkstra: " << endl;

G.dijkstra(src);

G.printShorestPath();

release_buff(topo, edge_num);

return 0;

}

/****************************************************************

* 函数名称：read_file

* 功能描述: 读取文件中的图的数据信息

* 参数列表: buff是将文件读取的图信息保存到buff指向的二维数组中

* spec是文件中图最大允许的边的个数

* filename是要打开的图文件

* 返回结果：无

*****************************************************************/

int read_file(char ** const buff, const unsigned int spec, const char * const filename)

{

FILE *fp = fopen(filename, "r");

if (fp == NULL)

{

printf("Fail to open file %s, %s.\n", filename, strerror(errno));

return 0;

}

printf("Open file %s OK.\n", filename);

char line[MAX_LINE_LEN + 2];

unsigned int cnt = 0;

while ((cnt < spec) && !feof(fp))

{

line[0] = 0;

fgets(line, MAX_LINE_LEN + 2, fp);

if (line[0] == 0) continue;

buff[cnt] = (char *)malloc(MAX_LINE_LEN + 2);

strncpy(buff[cnt], line, MAX_LINE_LEN + 2 - 1);

buff[cnt][4001] = 0;

cnt++;

}

fclose(fp);

printf("There are %d lines in file %s.\n", cnt, filename);

return cnt;

}

/****************************************************************

* 函数名称：release_buff

* 功能描述: 释放刚才读取的文件中的图的数据信息

* 参数列表: buff是指向文件读取的图信息

* valid_item_num是指图中边的个数

* 返回结果：void

*****************************************************************/

void release_buff(char ** const buff, const int valid_item_num)

{

for (int i = 0; i < valid_item_num; i++)

free(buff[i]);

}

运行结果：