负数取模

问题来源于：c++在做类型转换时，比如：

unsigned char c = -1;

-1为有符号整数，c为无符号8-bit字符，怎么转换呢？就是-1%256 = 255.

那么255是怎么得来的呢？

参考简书中一位作者的博客：

对于整数的取模运算，想必大家已经比较熟悉了，譬如说 7 对 3 取模，结果是多少，我们可以按照小学的公式：被除数÷除数=商……余数 来推算：

7 ÷ 3 ＝ 2 …… 1

那么结果是 1。

对于正整数来说，上面的计算没有问题。那么，下面的结果是多少，有人能马上回答出来吗？

-17 % 10

17 % -10

-17 % 10

在看结果之前，我们先看看整数除法的取整问题。

整数除法取整

考虑这样一个计算题：18 除以 5，要得到一个整数结果，究竟应该是 3 还是 4？这就是一个问题了。计算机上有几种对于结果取整的方法：

向上取整，向+∞方向取最接近精确值的整数，也就是取比实际结果稍大的最小整数，也叫 Ceiling 取整。这种取整方式下，17 / 10 == 2，5 / 2 == 3, -9 / 4 == -2。

向下取整，向-∞方向取最接近精确值的整数，也就是取比实际结果稍小的最大整数，也叫 Floor 取整。这种取整方式下，17 / 10 == 1，5 / 2 == 2, -9 / 4 == -3。

向零取整，向0方向取最接近精确值的整数，换言之就是舍去小数部分，因此又称截断取整（Truncate）。这种取整方式下，17 / 10 == 1，5 / 2 == 2, -9 / 4 == -2。

取模怎么算

取模运算实际上是计算两数相除以后的余数。假设 q 是 a、b 相除产生的商(quotient)，r 是相应的余数(remainder)，那么在几乎所有的计算系统中，都满足：

a = b x q + r，其中 |r|<|a|。

因此 r 有两个选择，一个为正，一个为负;相应的，q 也有两个选择。如果a、b 都是正数的话，那么一般的编程语言中，r 为正数；或者如果 a、b 都是负数的话，一般 r 为负数。但是如果 a、b 一正一负的话，不同的语言则会根据除法的不同结果而使得 r 的结果也不同，但是一般 r 的计算方法都会满足：

r = a - (a / b) x b

计算机怎么算

计算机怎么算，并不是一个好回答的问题，因为不同语言里面，对于整数除法取整的处理方式并不一样。

C/Java 的处理方式

大多数语言的处理方式都与 C/Java 一致，采用了 truncate 除法。所以在 C/Java 语言中:

-17 % 10 的计算结果如下：r = (-17) - (-17 / 10) x 10 = (-17) - (-1 x 10) = -7

17 % -10 的计算结果如下：r = 17 - (17 / -10) x (-10) = (17) - (-1 x -10) = 7

-17 % -10 的计算结果如下：r = (-17) - (-17 / -10) x (-10) = (-17) - (1 x -10) = -7

Python 的处理方式

Python 语言除法采用的是 floor 除法，所以对 Python 程序员来讲：

-17 % 10 的计算结果如下：r = (-17) - (-17 / 10) x 10 = (-17) - (-2 x 10) = 3

17 % -10 的计算结果如下：r = 17 - (17 / -10) x (-10) = (17) - (-2 x -10) = －3

-17 % -10 的计算结果如下：r = (-17) - (-17 / -10) x (-10) = (-17) - (1 x -10) = -7

据说，Python 3.x 中「/」运算符的意义发生了变化，「/」产生的结果将不会再进行取整，相应的「//」运算符的结果才会进行取整。

Common Lisp 的处理方式

Common Lisp 的特殊操作符「/」的结果是分数，因此不会存在截尾的问题。但是 Common Lisp 提供了 TRUNCATE 函数和 FLOOR 函数分别对应上述的两种除法。相应的，Common Lisp 的 REM 函数类似于 C/Java 语言中的取模运算；而 MOD 函数类似于 Python 语言中的取模运算。

例如，在 Clojure 这门 Lisp 方言中，(rem -17 10) == -7，(mod -17 10) == 3

文／丰俊文（简书作者）

原文链接：http://www.jianshu.com/p/452c1a5acd31

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