树状数组

树状数组

对于序列a，我们设一个数组C

◦

C[i] = a[i – 2^k + 1] + … + a[i]

◦ k为i在二进制下末尾0的个数

◦ i从1开始算！

其中2^k=i&(-i)
#define Lowbit(x) (x & (-x))
则C[i] = a[i – Lowbit(i) + 1] + … + a[i]
则有：
C1=A1
C2=A1+A2
C3=A3
C4=A1+A2+A3+A4
C5=A5
C6=A5+A6
C7=A7
C8=A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8
…………
C16=A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8+A9+A10+A11+A12+A13+A14+A15+A16

C即为a的树状数组

结构图：



求和：

设sum(k) = a[1]+a[2]+…+a[k]，则 a[i] + a[i+1] + … + a[j] = sum(j)-sum(i-1)

有了树状数组，sum(k)就能在O(logN)时间内求出，N是a数组元素个数。而且更新一个a的元素所花的

时间也是O(logN)的(a更新了C也得更新)。

sum(k) = C[n1]+C[n2] + …+ C[nm] 其中 nm= k

ni-1 = ni- lowbit(ni) 而且 n1 – lowbit(n1 ) 必须小于或等于0

求sum(r)代码：

int sum(int r) {
int sumr = 0,nr = r;
while(nr > 0) {
sumr = sumr + c[nr];
nr = nr - Lowbit(nr);
}
return sumr;
}

更新：

如果a[i]更新了，那么以下的几项都需要更新：

C[n1], C[n2], …C[nm]

其中，n1 = i ，ni+1 = ni + lowbit(ni)

nm + lowbit(nm) 必须大于 a 的元素个数 N

更新代码：

void Add(int x,int change,int n) {
while(x <= n) {
c[x] = c[x] + change;
x = x + Lowbit(x);
}
}

树状数组的两类操作

单点更新，区间求和(这个很好理解)

//lightoj 1112
#include <set>
#include <map>
#include <list>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <cassert>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define pi acos(-1.0)
#define maxn (100000 + 50)
#define Lowbit(x) (x & (-x))
using namespace std;
typedef long long int LLI;

int a[maxn];
int c[maxn];

void Update(int x,int change,int n) {
while(x <= n) {
c[x] = c[x] + change;
x = x + Lowbit(x);
}
}

int Query(int l,int r) {
int suml = 0,sumr = 0,nl = l - 1,nr = r;
while(nr > 0) {
sumr = sumr + c[nr];
nr = nr - Lowbit(nr);
}
while(nl > 0) {
suml = suml + c[nl];
nl = nl - Lowbit(nl);
}
return sumr - suml;
}

int main() {
//    freopen("in.txt", "r", stdin);
//    freopen("out.txt", "w", stdout);
int t;
scanf("%d",&t);
for(int Case = 1; Case <= t; Case ++) {
memset(a,0,sizeof(a));
memset(c,0,sizeof(c));
printf("Case %d:\n",Case);
int n,q,sum = 0,temp;
scanf("%d%d",&n,&q);
for(int i = 1; i <= n; i ++) {
scanf("%d",&temp);
sum = sum + temp;
a[i] = sum;
c[i] = a[i] - a[i - Lowbit(i)];
}
for(int i = n; i >= 1; i --) {
a[i] = a[i] - a[i - 1];
}
for(int i = 1; i <= q; i ++) {
int Order,ii,jj;
scanf("%d",&Order);
if(Order == 1) {
scanf("%d",&ii);
Update(ii + 1,-a[ii + 1],n);
printf("%d\n",a[ii + 1]);
a[ii + 1] = 0;
} else if(Order == 2) {
scanf("%d%d",&ii,&jj);
a[ii + 1] = a[ii + 1] + jj;
Update(ii + 1,jj,n);
} else {
scanf("%d%d",&ii,&jj);
printf("%d\n",Query(ii + 1,jj + 1));
}
}

}
return 0;
}

区间重点内容更新，单点求值
更改区间[x , y]，区间[x , y]里面的每个数全部加上val , 查询点k的值
区间[x , y]加上val相当于点x加上val , 点y+1减去val，那么求k点的值就等于[1,k]的和
其实更新[x,y]区间内的值在更新的时候并没有直接更新
而是把a[x]的值加上了val，代表由此以后的所有都加val，相应的a[y+1]应该加上-val,
这样在求k点的值的时候，直接求前缀和,如果x<=k<=y，那么求和时候会有val的加成相当于a[k]+val，
如果k<x那么区间[x,y]的修改与k无关,如果k>y那么a[k]+val然后还会-val相当于没加没减

如：lightoj 1080

#include <set>
#include <map>
#include <list>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <cassert>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define pi acos(-1.0)
#define maxn (100000 + 50)
#define Lowbit(x) (x & (-x))
using namespace std;
typedef long long int LLI;

char a[maxn];
int  c[maxn];

void Add(int x,int change,int n) {
while(x <= n) {
c[x] = c[x] + change;
x = x + Lowbit(x);
}
}

int Query(int r) {
int sumr = 0,nr = r;
while(nr > 0) {
sumr = sumr + c[nr];
nr = nr - Lowbit(nr);
}
return sumr;
}

int main() {
//    freopen("in.txt", "r", stdin);
//    freopen("out.txt", "w", stdout);
int t,n;
scanf("%d",&t);
for(int Case = 1; Case <= t; Case ++) {
printf("Case %d:\n",Case);
memset(c,0,sizeof(c));
scanf("%s",a + 1);
int len = strlen(a + 1);
scanf("%d",&n);
for(int i = 1; i <= n; i ++) {
char Order[2];
scanf("%s",Order);
if(Order[0] == 'I') {
int l, r;
scanf("%d%d",&l,&r);
Add(l,1,len);
Add(r + 1,-1,len);
} else if(Order[0] == 'Q') {
int id;
scanf("%d",&id);
if(Query(id) & 1) {
if(a[id] == '0')    printf("1\n");
else                printf("0\n");
} else                    printf("%c\n",a[id]);
}
}
}
return 0;
}