有向图强连通分量 Tarjan算法【java实现】
2016-03-28 09:59
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注:本文章上部分内容转载自http://www.cppblog.com/sosi/archive/2010/09/26/127797.html;一方面是网上有很多关于tarjan算法的介绍,我觉得都没有这个他的文章介绍的简明易懂或者没有具体的实现。另一方面,自己也顺便用java实现了一下,所以发表出来和大家分享分享!
[有向图强连通分量]
在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。
下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。
[Tarjan算法]
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义DFN(u)D记录搜索到该u的时间,也就是第几个搜索u的。Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。
算法伪代码如下
tarjan(u)
{
DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值
Stack.push(u) // 将节点u压入栈中
for each (u, v) in E // 枚举每一条边
if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过
tarjan(v) // 继续向下找
Low[u] = min(Low[u], Low[v])
else if (v in S) // 如果节点v还在栈内
Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根
repeat
v = S.pop // 将v退栈,为该强连通分量中一个顶点
print v
until (u== v)
}
接下来是对算法流程的演示。
从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量。
返回节点5,发现DFN[5]=LOW[5],退栈后{5}为一个强连通分量。
返回节点3,继续搜索到节点4,把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边,节点1还在栈中,所以LOW[4]=1。节点6已经出栈,(4,6)是横叉边,返回3,(3,4)为树枝边,所以LOW[3]=LOW[4]=1。
继续回到节点1,最后访问节点2。访问边(2,4),4还在栈中,所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后,发现DFN[1]=LOW[1],把栈中节点全部取出,组成一个连通分量{1,3,4,2}。
至此,算法结束。经过该算法,求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以发现,运行Tarjan算法的过程中,每个顶点都被访问了一次,且只进出了一次堆栈,每条边也只被访问了一次,所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。
算法java实现如下:
Tarjan类:
[有向图强连通分量]
在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。
下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。
[Tarjan算法]
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义DFN(u)D记录搜索到该u的时间,也就是第几个搜索u的。Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。
算法伪代码如下
tarjan(u)
{
DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值
Stack.push(u) // 将节点u压入栈中
for each (u, v) in E // 枚举每一条边
if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过
tarjan(v) // 继续向下找
Low[u] = min(Low[u], Low[v])
else if (v in S) // 如果节点v还在栈内
Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根
repeat
v = S.pop // 将v退栈,为该强连通分量中一个顶点
print v
until (u== v)
}
接下来是对算法流程的演示。
从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量。
返回节点5,发现DFN[5]=LOW[5],退栈后{5}为一个强连通分量。
返回节点3,继续搜索到节点4,把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边,节点1还在栈中,所以LOW[4]=1。节点6已经出栈,(4,6)是横叉边,返回3,(3,4)为树枝边,所以LOW[3]=LOW[4]=1。
继续回到节点1,最后访问节点2。访问边(2,4),4还在栈中,所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后,发现DFN[1]=LOW[1],把栈中节点全部取出,组成一个连通分量{1,3,4,2}。
至此,算法结束。经过该算法,求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以发现,运行Tarjan算法的过程中,每个顶点都被访问了一次,且只进出了一次堆栈,每条边也只被访问了一次,所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。
算法java实现如下:
Tarjan类:
import java.util.ArrayList; import java.util.Arrays; import java.util.List; import java.util.Stack; public class Tarjan { private int numOfNode; private List< ArrayList<Integer> > graph;//图 private List< ArrayList<Integer> > result;//保存极大强连通图 private boolean[] inStack;//节点是否在栈内,因为在stack中寻找一个节点不方便。这种方式查找快 private Stack<Integer> stack; private int[] dfn; private int[] low; private int time;// public Tarjan(List< ArrayList<Integer> > graph,int numOfNode){ this.graph = graph; this.numOfNode = numOfNode; this.inStack = new boolean[numOfNode]; this.stack = new Stack<Integer>(); dfn = new int[numOfNode]; low = new int[numOfNode]; Arrays.fill(dfn, -1);//将dfn所有元素都置为-1,其中dfn[i]=-1代表i还有没被访问过。 Arrays.fill(low, -1); result = new ArrayList<ArrayList<Integer>>(); } public List< ArrayList<Integer> > run(){ for(int i=0;i<numOfNode;i++){ if(dfn[i]==-1){ tarjan(i); } } return result; } public void tarjan(int current){ dfn[current]=low[current]=time++; inStack[current]=true; stack.push(current); for(int i=0;i<graph.get(current).size();i++){ int next = graph.get(current).get(i); if(dfn[next]==-1){//-1代表没有被访问 tarjan(next); low[current]=Math.min(low[current], low[next]); }else if(inStack[next]){ low[current]=Math.min(low[current], dfn[next]); } } if(low[current]==dfn[current]){ ArrayList<Integer> temp =new ArrayList<Integer>(); int j = -1; while(current!=j){ j = stack.pop(); inStack[j]=false; temp.add(j); } result.add(temp); } } }测试类:
import java.util.ArrayList; import java.util.List; import java.util.Stack; public class Main { public static void main(String[] args) { //创建图 int numOfNode = 6; List< ArrayList<Integer> > graph = new ArrayList<ArrayList<Integer>>(); for(int i=0;i<numOfNode;i++){ graph.add(new ArrayList<Integer>()); } graph.get(0).add(1); graph.get(0).add(2); graph.get(1).add(3); graph.get(2).add(3); graph.get(2).add(4); graph.get(3).add(0); graph.get(3).add(5); graph.get(4).add(5); //调用Tarjan算法求极大连通子图 Tarjan t = new Tarjan(graph, numOfNode); List< ArrayList<Integer> > result = t.run(); //打印结果 for(int i=0;i<result.size();i++){ for(int j=0;j<result.get(i).size();j++){ System.out.print(result.get(i).get(j)+" "); } System.out.println(); } } }
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