[网络流24题][COGS396]魔术球问题简化版（最小割）

题目描述

传送门

注意题目描述：保证答案小于2000并非1600！

题解

有向无环图的最小路径覆盖问题，转化成最小割问题。

最小路径覆盖数随球的数量递增不递减，满足单调性，所以可以枚举答案（或二分答案），对于特定的答案求出最小路径覆盖数，一个可行解就是最小路径覆盖数等于N的答案，求出最大的可行解就是最优解。本问题更适合枚举答案而不是二分答案，因为如果顺序枚举答案，每次只需要在残量网络上增加新的节点和边，再增广一次即可。如果二分答案，就需要每次重新建图，大大增加了时间复杂度。

具体方法可以顺序枚举A的值，当最小路径覆盖数刚好大于N时终止，A-1就是最优解。

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;

const int max_n=4000;
const int max_N=max_n*2+2;
const int max_m=max_n*max_n*2;
const int max_e=max_m*2;
const int INF=1e9;

int n,N,maxflow,ans;
bool can[max_n];
int tot,point[max_N],next[max_e],v[max_e],remain[max_e];
int deep[max_N],last[max_N],cur[max_N],num[max_N];
queue <int> q;

inline void addedge(int x,int y,int cap){
++tot; next[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y; remain[tot]=cap;
++tot; next[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x; remain[tot]=0;
}

inline void bfs(int t){
while (!q.empty()) q.pop();
q.push(t);

while (!q.empty()){
int now=q.front(); q.pop();
for (int i=point[now];i!=-1;i=next[i])
if (deep[v[i]]==max_N&&remain[i^1]){
deep[v[i]]=deep[now]+1;
q.push(v[i]);
}
}
}

inline int addflow(int s,int t){
int ans=INF,now=t;

while (now!=s){
ans=min(ans,remain[last[now]]);
now=v[last[now]^1];
}

now=t;
while (now!=s){
remain[last[now]]-=ans;
remain[last[now]^1]+=ans;
now=v[last[now]^1];
}

return ans;
}

inline void isap(int s,int t,int number){
bfs(t);

for (int i=1;i<=number;++i)
++num[deep[i]];

int now=s;
while (deep[s]<max_N){
if (now==t){
maxflow+=addflow(s,t);
now=s;
break;
}

bool has_find=false;
for (int i=point[now];i!=-1;i=next[i])
if (deep[v[i]]+1==deep[now]&&remain[i]){
has_find=true;
cur[now]=i;
last[v[i]]=i;
now=v[i];
break;
}

if (!has_find) break;
}
}

int main(){
freopen("balla.in","r",stdin);
freopen("balla.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);

for (int i=1;i*i<=4000;++i)
can[i*i]=true;

tot=-1;
memset(point,-1,sizeof(point));
memset(next,-1,sizeof(next));

for (int t=1;;++t){
addedge(1,2*t+1,1);
addedge(2*t+2,2,1);

for (int i=1;i<t;++i)
if (can[i+t])
addedge(2*i+1,2*t+2,1);

deep[2*t+1]=max_N;
deep[2*t+2]=max_N;
deep[1]=max_N;
deep[2]=0;

isap(1,2,t*2+2);

ans=t-maxflow;
if (ans>n){
printf("%d\n",t-1);
break;
}
}

return 0;
}

总结

如何每次加边并进行一次增广注意一下。