编程之美-买书问题

上柜的《哈利波特》平装本系列，一共有五卷。假设每一卷单独销售均需8欧元。如果读者一次购买不同的两卷，就可以扣除5%的费用，三卷则更多。假设具体折扣的情况如下：

本数 2 折扣 5%

本数 3 折扣 10%

本数 4 折扣 20%

本数 5 折扣 25%

问题：设计出算法，能够计算出读者所购买的一批书的最低价格。

二，问题分析：

优化问题就用动态规划、贪心算法、分支限界轮番狂轰乱炸！！直到找到最优解！！

贪心策略

当书的数目N<5时，直接按照折扣购买

当书的数目N>5时，情况如下：

依此可以穷举出每一种组合的情况，对于任意一种情况(i,j,k,m,n)进行分析

先找出是所有书中5种不同的书，如果有则按照5本书折扣价购买

其次找出剩余书中所有4种书，如果有则按照4本书的折扣价购买

再找出剩余书中所有3种书，如果有则按照3本书的折扣价购买

最后在剩余书中找出所有2种书，如果有则按照2本书的折扣价购买

剩下的书则按照全价购买。

如果按照这种方法（贪心法）存在反例，比如买8本书时，可以拆成5+3，折扣为1.55；也可以拆成4+4，折扣为1.6 这种两种情况组合中都包括，通过选择一个折扣最低的可以排除掉第一种情况。

结论：贪心策略不可取

动态规划

要用动态规划解答首先要找到，动态规划的递归公式，因为动态规划是自顶向下层层递归，然后自底向下层层解答！最后根据底层结论求解最后结果。

五卷书的价格相同都是8欧元，所以购买（1，0，0，0，0）跟（0，1，0，0，0）效果一样。这里就可以简化为，让所购买书按照本书递增（递减），从而方便讨论。

要处理的参数为购买每种卷的个数，所以递归一定跟这五个参数相关。可以把参数按照从小到大顺序排列。讨论不为0的参数的个数，从而求出所有可能的折扣种类。然后从当前折扣种类中取价格最小值。

（X1,X2,X3,X4,X5）代表购买每卷的个数，F（X1，X2，X3，X4，X5）代表最低价格。X1 < X2 < X3 < X4 < X5

F（X1，X2，X3，X4，X5）=0 ；当所有参数都为0的情况（这也是退出递归的出口）

F（X1，X2，X3，X4，X5）= min{

5*8*(1-25%) +F（X1-1，X2-1，X3-1，X4-1，X5-1） //参数全部 > 0

4*8*(1-20%) +F（X1，X2-1，X3-1，X4-1，X5-1） //x2 >
0

3*8*(1-10%) +F（X1，X2，X3-1，X4-1，X5-1） //x3
> 0

2*8*(1-5%) +F（X1，X2，X3，X4-1，X5-1） //x4
> 0

8 +F（X1，X2，X3，X4，X5-1） //x5
> 0

}

#include<iostream>
using namespace std;
template <typename T>
void InsertSort(T m[], int length)   //插入排序, 从小到大
{
for(int i = 1; i < length; ++i)
{
int j ;
T tmp = m[i];
for( j = i; j>0 && m[j-1]>tmp; --j)
m[j] = m[j-1];
m[j] = tmp;
}
}
double Min(double a, double b, double c, double d, double e)   //返回最小值
{
double A[5] = {a, b, c ,d ,e};
InsertSort(A, 5);
return A[0];
}
double BuyBook(int a, int b, int c, int d, int e)
{
//把要买的书的数目按从小到大排序,因为每种书价钱一样,所以一种书放在哪个位置无所谓
int n[5] = {a, b, c, d, e};
InsertSort(n, 5);
a = n[0];
b = n[1];
c = n[2];
d = n[3];
e = n[4];
const double large = 100000;  //定义一个很大的值,去最小值时不会取到这个值
if(n[0]>0)  //数目最少的书都至少有一本,因此此轮可以买1, 2, 3, 4, 5,本都行,去最小值,再递归
{
return Min(8.0+BuyBook(a, b, c, d, e-1),
2*8.0*0.95 + BuyBook(a, b, c, d-1, e-1),
3*8.0*0.9 + BuyBook(a, b, c-1, d-1, e-1),
4*8.0*0.80 + BuyBook(a, b-1, c-1, d-1, e-1),
5*8.0*0.75 + BuyBook(a-1, b-1, c-1, d-1, e-1));
}
else if(n[0]==0 && n[1]>0)  //数目最少的一种没了,就不能5种都买了
{
return Min(8.0+BuyBook(a, b, c, d, e-1),
2*8.0*0.95 + BuyBook(a, b, c, d-1, e-1),
3*8.0*0.9 + BuyBook(a, b, c-1, d-1, e-1),
4*8.0*0.80 + BuyBook(a, b-1, c-1, d-1, e-1),
large);
}
else if(n[0]==0 && n[1] == 0 && n[2]>0)  //数目最少的2种没了,最多买3种
{
return Min(8.0+BuyBook(a, b, c, d, e-1),
2*8.0*0.95 + BuyBook(a, b, c, d-1, e-1),
3*8.0*0.9 + BuyBook(a, b, c-1, d-1, e-1),
large,
large);
}
else if(n[0]==0 && n[1] == 0 && n[2] == 0 && n[3]>0)  //数目最少的3种没了,最多买2种
{
return Min(8.0+BuyBook(a, b, c, d, e-1),
2*8.0*0.95 + BuyBook(a, b, c, d-1, e-1),
large,
large,
large);
}
else if(n[0]==0 && n[1] == 0 && n[2] == 0 && n[3] == 0 && n[4]>0)  //数目最少的4种没了,最多买1种
{
return 8.0+BuyBook(a, b, c, d, e-1);
}
else
{
return 0;
}
}
int main()
{
int n[5] = {5,9,3,6,4};
cout<<BuyBook(n[0], n[1], n[2], n[3], n[4])<<endl;
}
最后结果为176

来源:http://blog.csdn.net/tianshuai1111/article/details/7663427