动态规划（一）

最优化问题
一般优化问题描述

随机动态规划的结构
离散时间系统

离散时间系统代价函数

反馈

第一个栗子随机动态优化问题

第二个栗子确定动态优化问题

第三个栗子来点复杂的无线网络问题

小结

最优化问题

动态规划(Dynamic programming)是用来优化一个随机问题的最优解，随机问题是只我们优化的目标是随机的，最优解指的是在统计平均上的最优。

比较权威的参考资料：Dimiri P. Bertsekas, Dynamic Programming and Optimal Control, 3rd ed., Athena Scientific, Belmont, Massachusetts,2005

一般优化问题描述

minu∈Ug(u)

u 是最优化问题的决策

g(u) 是决策的代价函数

U 是所有决策 ui 的集合

动态规划的优化问题可以分为：

随机优化问题：

由于代价函数存在一个随机变量w，因此最优解的优化目标是代价函数的统计平均。

g(u)=EwG(u,w)

确定优化问题：

这个问题代价函数是一个确定函数。

如何区分这两个问题呢？我们可以观察系统是否存在随机性，这个随机性是体现在系统之中的，而不是这个系统。举个栗子，优化一个随机网络是个确定性问题，即给定任意网络结构，找到最短路径，因为网络虽然是随机的，但是优化的目标在确定以后是不变的。然而优化一个随时变化的网络是一个随机问题，即一边进行优化，网络结构一边在变的问题。

动态规划正是可以解决每一个步骤都有随机变量 w 影响的目标函数，如何在全局取得统计平均上最优解的问题。后面我们可以看到每一个决策都会利用 w 的信息。

随机动态规划的结构

离散时间系统

xk+1=fk(xk,uk,wk),k=0,1,…,N−1

其中：

k ：表示离散时间（也可以看作是步骤）。

xk ：表示在时间 k 的状态，该状态具有马尔科夫性，即当前状态已经包含决策所需要的各种信息，与之前的状态无关。当前状态将会参与决策。

uk ：表示在时间 k 所输出的控制，即再时间 k 在集合 U 中选择的控制信息。

wk ：是一个随机变量，这个随机变量将会影响代价函数。

N ：表示控制的窗口时间。

离散时间系统代价函数

E{∑k=0N−1gk(xk,uk,wk) + gN(xN)}

我们的优化目标就是优化这个系统的平均代价。可以看到这个代价是每一个决策的代价和最终状态代价的统计平均。

反馈

前面描述了动态规划的目的，动态规划为了优化一个随机函数。它的解是平均意义上的最优，并非每次都是最优。动态规划问题可以分为随机优化问题以及确定优化问题。其中确定优化问题可以每次都取得最优解（算法导论上面介绍的就是确定优化问题，这只是动态优化的冰山一角！）。

动态规划除了可以分为随机动态规划和确定动态规划，还可以分为带反馈和不带反馈(feed back)。也有人叫做开环(open-loop)和闭环(closed-loop)。这个命名可能会导致我们理解错误。因为，反馈并不是指的前一级对后一级的反馈，而是当前状态xk根据wk得出的uk导致的状态跳转。如图：


可见反馈真正的意义是，根据现在的状态以及信息wk做决策做决策，并记录这个过程的状态跳转。

第一个栗子：随机动态优化问题

假设系统是一个零售商的进货系统，进货是周期性的。假设一个周期需求是 wk 显然需求是一个随机变量，库存是 xk ，同时也表示这个系统的状态。我们的进货量 uk 也就是我们的决策。所以每一次周期完毕后的库存可以表示为xk+1 = xk+uk−wk。因此我们可以建立如下模型：



这个离散时间系统就可以描述为：

xk+1 = fk(xk,uk,wk) = xk+uk−wk

其代价函数会随着时间叠加，所以这个系统的代价函数为：

E{∑k=0N−1(cuk+r(xk))+R(xN)}

我们可以看到每一个周期其代价都会叠加，到最后会有一个最终状态的代价（为什么有这个代价呢？不妨假设没有这个代价，在第N−2个周期我们进货量为正无穷，定能满足需求。但是这明显是不合理的。）

第二个栗子：确定动态优化问题

确定一个确定系统操作顺序问题：我们要找到A,B,C,D的最佳操作顺序。其中有几个限制：

1. A必须在B之前执行，C必须在D之前执行

2. 必须从A和C开始，即起始状态必须为:SA或者SC

3. 状态 m 到 n 的跳转代价是 Cmn

则可以画出一个类似二叉树的图：



显然只需要遍历整个图我们即可找到一个最优解。

第三个栗子：来点复杂的无线网络问题

系统描述：我们需要在 N 个时隙中发送 M 个数据包，其中有几个限制：

1. 信道条件有两种：好的（概率为：p），坏的（概率为： 1−p ）

2. 在好的和坏的信道下面都可以传包，不同信道条件下传包的代价不同。好信道的代价为 PG 。坏的信道的代价为 PB

3. N 个发送时隙完毕后，最后剩余 m 个数据包的代价为 C(m)

下面我们根据已知的知识对系统建模：

系统状态： (mk,Hk) ： mk 表示剩余数据包的数量， Hk 表示信道条件。

控制信息： uk 有两个取值，0（表示不发送），1（表示发送）。

随机变量 w :表示信道变化

系统描述：mk+1=mk−uk,Hk+1=wk

开销函数：

E{∑k=0N−1g((mk,Hk),uk)+C(mN)}

问题解答见：http://blog.csdn.net/sylar_d/article/details/50900521

小结

经过以上栗子我们看出，动态规划问题具有以下几点特性：

1. 控制是局部的，仅仅取决于当前的状态xk

2. 状态具有马尔科夫性。

3. 动态规划系统具有以下特性：

系统描述： xk+1=fk(xk,uk,wk),k=0,1,…,N−1

控制约束： uk∈U(xk)

随机概率分布： Pk(wk)=Pk(⋅|xk,uk)

策略：有一系列的策略 π={μ0,…,μN−1} 其中每一个 μk 都将状态 xk 按照映射 uk=μk(xk) 映射成为一个决策。

代价函数：从x0开始的策略 π 的代价函数为：

Jπ(x0)=E{∑k=0N−1gk(xk,μk(xk),wk)+gN(xN)}

最优策略：

J∗(x0)=minπJπ(x0)

最优策略 π∗ 必须满足：

Jπ∗(x0)=J∗(x0)