算法基础 - 树状数组(binary indexed tree)

定义

树状数组(Binary Indexed Tree(BIT), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值。

这种数据结构（算法）并没有C++和Java的库支持，需要自己手动实现。在Competitive Programming的竞赛中被广泛的使用。树状数组和线段树很像，但能用树状数组解决的问题，基本上都能用线段树解决，而线段树能解决的树状数组不一定能解决。相比较而言，树状数组效率要高很多。

来源：百度百科

我把实现好的代码放到了我的github上：BIT 地址

基本概念

假设数组a[1..n]，那么查询a[1]+…+a
的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。

下面讲一下整个的数组是如何实现的：

首先看图：



图片来源见水印。

这里我们可以看到实际上每个节点存放的不一定是自己的值，其实是一段数组值的和。

C1 = A1
C2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
...
C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

看到以上的这些了，C代表节点，后面代表这个节点是那些数据的和。

那么到底是哪些的和是怎么来的呢？

节点数值转换成二进制后，末尾有k个0，就有2的k次方个数据的和。

例如：

C1节点数字为1，二进制是：0001，末尾没有0，就是2的0次方，就是1，也就是只有一个数据的和。C1 = A1

如果是C2节点，数字为2，二进制: 0010，末尾一个0，就是2的1次方，就是两个数据的和。 C2 = A1+A2.

依次类推。

如何快速求末尾有几个0

这个就是树状数组的一个重要方法：

int lowbit(int x){
return x&(-x);
}

这样子就可以了。

求0到第n个数据的和

因为是树状数组，所以求和很简单，复杂度是log级别的。

int Sum = 0; // 第一步定义和为0
while(n > 0){
Sum += C
; // 第二步 在 n > 0的情况 加上第n个节点
n -= lowbit(n); //第三步 让n跳到上一个需要加的位置
}

是不是很简单！

更新数据

这里假如里面的某个数据更新了，那么有些节点也需要更新的，也是log级别的，第一个数据变动，就是需要log(n)其他的需要的更少。

//如果更新第i个数据，让其 +1
while(i <= n){ //一共n个数据，第0号节点无数据，所以下标到n
C[i] += 1; // 更新数据
i += lowbit(i); // 下一个要更新的位置
}

更新数据也非常简单。

大致如上。这是一个比较好的数据结构，我实现的代码暂时还有修改的余地和注释添加。后面我会完善。