数据结构专题——线段树

原文地址：http://blog.csdn.net/metalseed/article/details/8039326

线段树



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持续更新中···

一：线段树基本概念

1：概述

线段树，类似区间树，是一个完全二叉树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(lgN)!

性质：父亲的区间是[a,b],(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]，线段树需要的空间为数组大小的四倍

2：基本操作（demo用的是查询区间最小值）

线段树的主要操作有：

(1)：线段树的构造 void build(int node, int begin, int end);

主要思想是递归构造，如果当前节点记录的区间只有一个值，则直接赋值，否则递归构造左右子树，最后回溯的时候给当前节点赋值

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print?

#include <iostream>

using namespace std;

const int maxind = 256;

int segTree[maxind * 4 + 10];

int array[maxind];

/* 构造函数，得到线段树 */

void build(int node, int begin, int end)

{

if (begin == end)

segTree[node] = array[begin]; /* 只有一个元素,节点记录该单元素 */

else

{

/* 递归构造左右子树 */

build(2*node, begin, (begin+end)/2);

build(2*node+1, (begin+end)/2+1, end);

/* 回溯时得到当前node节点的线段信息 */

if (segTree[2 * node] <= segTree[2 * node + 1])

segTree[node] = segTree[2 * node];

else

segTree[node] = segTree[2 * node + 1];

}

}

int main()

{

array[0] = 1, array[1] = 2,array[2] = 2, array[3] = 4, array[4] = 1, array[5] = 3;

build(1, 0, 5);

for(int i = 1; i<=20; ++i)

cout<< "seg"<< i << "=" <<segTree[i] <<endl;

return 0;

}

此build构造成的树如图：


(2)：区间查询int query(int node, int begin, int end, int left, int right);

（其中node为当前查询节点，begin,end为当前节点存储的区间，left,right为此次query所要查询的区间）

主要思想是把所要查询的区间[a,b]划分为线段树上的节点，然后将这些节点代表的区间合并起来得到所需信息

比如前面一个图中所示的树，如果询问区间是[0,2]，或者询问的区间是[3,3]，不难直接找到对应的节点回答这一问题。但并不是所有的提问都这么容易回答，比如[0,3]，就没有哪一个节点记录了这个区间的最小值。当然，解决方法也不难找到：把[0,2]和[3,3]两个区间（它们在整数意义上是相连的两个区间）的最小值“合并”起来，也就是求这两个最小值的最小值，就能求出[0,3]范围的最小值。同理，对于其他询问的区间，也都可以找到若干个相连的区间，合并后可以得到询问的区间。

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print?

int query(int node, int begin, int end, int left, int right)

{

int p1, p2;

/* 查询区间和要求的区间没有交集 */

if (left > end || right < begin)

return -1;

/* if the current interval is included in */

/* the query interval return segTree[node] */

if (begin >= left && end <= right)

return segTree[node];

/* compute the minimum position in the */

/* left and right part of the interval */

p1 = query(2 * node, begin, (begin + end) / 2, left, right);

p2 = query(2 * node + 1, (begin + end) / 2 + 1, end, left, right);

/* return the expect value */

if (p1 == -1)

return p2;

if (p2 == -1)

return p1;

if (p1 <= p2)

return p1;

return p2;

}

可见，这样的过程一定选出了尽量少的区间，它们相连后正好涵盖了整个[left,right]，没有重复也没有遗漏。同时，考虑到线段树上每层的节点最多会被选取2个，一共选取的节点数也是O(log n)的，因此查询的时间复杂度也是O(log n)。

线段树并不适合所有区间查询情况，它的使用条件是“相邻的区间的信息可以被合并成两个区间的并区间的信息”。即问题是可以被分解解决的。


(3)：区间或节点的更新 及 线段树的动态维护update （这是线段树核心价值所在，节点中的标记域可以解决N多种问题）

动态维护需要用到标记域，延迟标记等。

a:单节点更新

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print?

void Updata(int node, int begin, int end, int ind, int add)/*单节点更新*/

{

if( begin == end )

{

segTree[node] += add;

return ;

}

int m = ( left + right ) >> 1;

if(ind <= m)

Updata(node * 2,left, m, ind, add);

else

Updata(node * 2 + 1, m + 1, right, ind, add);

/*回溯更新父节点*/

segTree[node] = min(segTree[node * 2], segTree[node * 2 + 1]);

}

b：区间更新（线段树中最有用的）

需要用到延迟标记，每个结点新增加一个标记，记录这个结点是否被进行了某种修改操作(这种修改操作会影响其子结点)。对于任意区间的修改，我们先按照查询的方式将其划分成线段树中的结点，然后修改这些结点的信息，并给这些结点标上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个结点p，并且决定考虑其子结点，那么我们就要看看结点p有没有标记，如果有，就要按照标记修改其子结点的信息，并且给子结点都标上相同的标记，同时消掉p的标记。（优点在于，不用将区间内的所有值都暴力更新，大大提高效率，因此区间更新是最优用的操作）

void Change来自dongxicheng.org

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void Change(node *p, int a, int b) /* 当前考察结点为p，修改区间为(a,b]*/

{

if (a <= p->Left && p->Right <= b)

/* 如果当前结点的区间包含在修改区间内*/

{

...... /* 修改当前结点的信息，并标上标记*/

return;

}

Push_Down(p); /* 把当前结点的标记向下传递*/

int mid = (p->Left + p->Right) / 2; /* 计算左右子结点的分隔点

if (a < mid) Change(p->Lch, a, b); /* 和左孩子有交集，考察左子结点*/

if (b > mid) Change(p->Rch, a, b); /* 和右孩子有交集，考察右子结点*/

Update(p); /* 维护当前结点的信息（因为其子结点的信息可能有更改）*/

}

3:主要应用



(1)：区间最值查询问题 （见模板1）

(2)：连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 （见模板2）

(3)：多维空间的动态查询 （见模板3）

二：典型模板

模板1：

RMQ，查询区间最值下标---min

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print?

#include<iostream>

using namespace std;

#define MAXN 100

#define MAXIND 256 //线段树节点个数

//构建线段树,目的:得到M数组.

void build(int node, int b, int e, int M[], int A[])

{

if (b == e)

M[node] = b; //只有一个元素,只有一个下标

else

{

build(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A);

build(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A);

if (A[M[2 * node]] <= A[M[2 * node + 1]])

M[node] = M[2 * node];

else

M[node] = M[2 * node + 1];

}

}

//找出区间 [i, j] 上的最小值的索引

int query(int node, int b, int e, int M[], int A[], int i, int j)

{

int p1, p2;

//查询区间和要求的区间没有交集

if (i > e || j < b)

return -1;

if (b >= i && e <= j)

return M[node];

p1 = query(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, i, j);

p2 = query(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, i, j);

//return the position where the overall

//minimum is

if (p1 == -1)

return M[node] = p2;

if (p2 == -1)

return M[node] = p1;

if (A[p1] <= A[p2])

return M[node] = p1;

return M[node] = p2;

}

int main()

{

int M[MAXIND]; //下标1起才有意义,否则不是二叉树,保存下标编号节点对应区间最小值的下标.

memset(M,-1,sizeof(M));

int a[]={3,4,5,7,2,1,0,3,4,5};

build(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a);

cout<<query(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a, 0, 5)<<endl;

return 0;

}

模板2：



连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 （此模板查询区间和）



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#include <cstdio>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define lson l , m , rt << 1

#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

#define root 1 , N , 1

#define LL long long

const int maxn = 111111;

LL add[maxn<<2];

LL sum[maxn<<2];

void PushUp(int rt) {

sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];

}

void PushDown(int rt,int m) {

if (add[rt]) {

add[rt<<1] += add[rt];

add[rt<<1|1] += add[rt];

sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));

sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);

add[rt] = 0;

}

}

void build(int l,int r,int rt) {

add[rt] = 0;

if (l == r) {

scanf("%lld",&sum[rt]);

return ;

}

int m = (l + r) >> 1;

build(lson);

build(rson);

PushUp(rt);

}

void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {

if (L <= l && r <= R) {

add[rt] += c;

sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);

return ;

}

PushDown(rt , r - l + 1);

int m = (l + r) >> 1;

if (L <= m) update(L , R , c , lson);

if (m < R) update(L , R , c , rson);

PushUp(rt);

}

LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) {

if (L <= l && r <= R) {

return sum[rt];

}

PushDown(rt , r - l + 1);

int m = (l + r) >> 1;

LL ret = 0;

if (L <= m) ret += query(L , R , lson);

if (m < R) ret += query(L , R , rson);

return ret;

}

int main() {

int N , Q;

scanf("%d%d",&N,&Q);

build(root);

while (Q --) {

char op[2];

int a , b , c;

scanf("%s",op);

if (op[0] == 'Q') {

scanf("%d%d",&a,&b);

printf("%lld\n",query(a , b ,root));

} else {

scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);

update(a , b , c , root);

}

}

return 0;

}

模板3：



多维空间的动态查询

三：练习题目

下面是hh线段树代码，典型练习哇~



在代码前先介绍一些我的线段树风格:

maxn是题目给的最大区间,而节点数要开4倍,确切的来说节点数要开大于maxn的最小2x的两倍
lson和rson分辨表示结点的左儿子和右儿子,由于每次传参数的时候都固定是这几个变量,所以可以用预定于比较方便的表示
以前的写法是另外开两个个数组记录每个结点所表示的区间,其实这个区间不必保存,一边算一边传下去就行,只需要写函数的时候多两个参数,结合lson和rson的预定义可以很方便
PushUP(int rt)是把当前结点的信息更新到父结点
PushDown(int rt)是把当前结点的信息更新给儿子结点
rt表示当前子树的根(root),也就是当前所在的结点

整理这些题目后我觉得线段树的题目整体上可以分成以下四个部分:

单点更新:最最基础的线段树,只更新叶子节点,然后把信息用PushUP(int
r)这个函数更新上来

hdu1166 敌兵布阵

题意:O(-1)
思路:O(-1)

线段树功能:update:单点增减 query:区间求和

code:

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print?

#include<cstring>

#include<iostream>

#define M 50005

#define lson l,m,rt<<1

#define rson m+1,r,rt<<1|1

/*left,right,root,middle*/

int sum[M<<2];

inline void PushPlus(int rt)

{

sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];

}

void Build(int l, int r, int rt)

{

if(l == r)

{

scanf("%d", &sum[rt]);

return ;

}

int m = ( l + r )>>1;

Build(lson);

Build(rson);

PushPlus(rt);

}

void Updata(int p, int add, int l, int r, int rt)

{

if( l == r )

{

sum[rt] += add;

return ;

}

int m = ( l + r ) >> 1;

if(p <= m)

Updata(p, add, lson);

else

Updata(p, add, rson);

PushPlus(rt);

}

int Query(int L,int R,int l,int r,int rt)

{

if( L <= l && r <= R )

{

return sum[rt];

}

int m = ( l + r ) >> 1;

int ans=0;

if(L<=m )

ans+=Query(L,R,lson);

if(R>m)

ans+=Query(L,R,rson);

return ans;

}

int main()

{

int T, n, a, b;

scanf("%d",&T);

for( int i = 1; i <= T; ++i )

{

printf("Case %d:\n",i);

scanf("%d",&n);

Build(1,n,1);

char op[10];

while( scanf("%s",op) &&op[0]!='E' )

{

scanf("%d %d", &a, &b);

if(op[0] == 'Q')

printf("%d\n",Query(a,b,1,n,1));

else if(op[0] == 'S')

Updata(a,-b,1,n,1);

else

Updata(a,b,1,n,1);

}

}

return 0;

}

hdu1754 I Hate It

题意:O(-1)

思路:O(-1)

线段树功能:update:单点替换 query:区间最值

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print?

#include <cstdio>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define lson l , m , rt << 1

#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

const int maxn = 222222;

int MAX[maxn<<2];

void PushUP(int rt) {

MAX[rt] = max(MAX[rt<<1] , MAX[rt<<1|1]);

}

void build(int l,int r,int rt) {

if (l == r) {

scanf("%d",&MAX[rt]);

return ;

}

int m = (l + r) >> 1;

build(lson);

build(rson);

PushUP(rt);

}

void update(int p,int sc,int l,int r,int rt) {

if (l == r) {

MAX[rt] = sc;

return ;

}

int m = (l + r) >> 1;

if (p <= m) update(p , sc , lson);

else update(p , sc , rson);

PushUP(rt);

}

int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {

if (L <= l && r <= R) {

return MAX[rt];

}

int m = (l + r) >> 1;

int ret = 0;

if (L <= m) ret = max(ret , query(L , R , lson));

if (R > m) ret = max(ret , query(L , R , rson));

return ret;

}

int main() {

int n , m;

while (~scanf("%d%d",&n,&m)) {

build(1 , n , 1);

while (m --) {

char op[2];

int a , b;

scanf("%s%d%d",op,&a,&b);

if (op[0] == 'Q') printf("%d\n",query(a , b , 1 , n , 1));

else update(a , b , 1 , n , 1);

}

}

return 0;

}

hdu1394
Minimum Inversion Number

题意:求Inversion后的最小逆序数

思路:用O(nlogn)复杂度求出最初逆序数后,就可以用O(1)的复杂度分别递推出其他解

线段树功能:update:单点增减 query:区间求和

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print?

#include <cstdio>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define lson l , m , rt << 1

#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

const int maxn = 5555;

int sum[maxn<<2];

void PushUP(int rt) {

sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];

}

void build(int l,int r,int rt) {

sum[rt] = 0;

if (l == r) return ;

int m = (l + r) >> 1;

build(lson);

build(rson);

}

void update(int p,int l,int r,int rt) {

if (l == r) {

sum[rt] ++;

return ;

}

int m = (l + r) >> 1;

if (p <= m) update(p , lson);

else update(p , rson);

PushUP(rt);

}

int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {

if (L <= l && r <= R) {

return sum[rt];

}

int m = (l + r) >> 1;

int ret = 0;

if (L <= m) ret += query(L , R , lson);

if (R > m) ret += query(L , R , rson);

return ret;

}

int x[maxn];

int main() {

int n;

while (~scanf("%d",&n)) {

build(0 , n - 1 , 1);

int sum = 0;

for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {

scanf("%d",&x[i]);

sum += query(x[i] , n - 1 , 0 , n - 1 , 1);

update(x[i] , 0 , n - 1 , 1);

}

int ret = sum;

for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {

sum += n - x[i] - x[i] - 1;

ret = min(ret , sum);

}

printf("%d\n",ret);

}

return 0;

}

hdu2795 Billboard

题意:h*w的木板,放进一些1*L的物品,求每次放空间能容纳且最上边的位子

思路:每次找到最大值的位子,然后减去L

线段树功能:query:区间求最大值的位子(直接把update的操作在query里做了)

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print?

#include <cstdio>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define lson l , m , rt << 1

#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

const int maxn = 222222;

int h , w , n;

int MAX[maxn<<2];

void PushUP(int rt) {

MAX[rt] = max(MAX[rt<<1] , MAX[rt<<1|1]);

}

void build(int l,int r,int rt) {

MAX[rt] = w;

if (l == r) return ;

int m = (l + r) >> 1;

build(lson);

build(rson);

}

int query(int x,int l,int r,int rt) {

if (l == r) {

MAX[rt] -= x;

return l;

}

int m = (l + r) >> 1;

int ret = (MAX[rt<<1] >= x) ? query(x , lson) : query(x , rson);

PushUP(rt);

return ret;

}

int main() {

while (~scanf("%d%d%d",&h,&w,&n)) {

if (h > n) h = n;

build(1 , h , 1);

while (n --) {

int x;

scanf("%d",&x);

if (MAX[1] < x) puts("-1");

else printf("%d\n",query(x , 1 , h , 1));

}

}

return 0;

}

成段更新(通常这对初学者来说是一道坎),需要用到延迟标记(或者说懒惰标记),简单来说就是每次更新的时候不要更新到底,用延迟标记使得更新延迟到下次需要更新or询问到的时候

hdu1698
Just a Hook

题意:O(-1)

思路:O(-1)

线段树功能:update:成段替换 (由于只query一次总区间,所以可以直接输出1结点的信息)

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print?

#include <cstdio>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define lson l , m , rt << 1

#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

const int maxn = 111111;

int h , w , n;

int col[maxn<<2];

int sum[maxn<<2];

void PushUp(int rt) {

sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];

}

void PushDown(int rt,int m) {

if (col[rt]) {

col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt];

sum[rt<<1] = (m - (m >> 1)) * col[rt];

sum[rt<<1|1] = (m >> 1) * col[rt];

col[rt] = 0;

}

}

void build(int l,int r,int rt) {

col[rt] = 0;

sum[rt] = 1;

if (l == r) return ;

int m = (l + r) >> 1;

build(lson);

build(rson);

PushUp(rt);

}

void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {

if (L <= l && r <= R) {

col[rt] = c;

sum[rt] = c * (r - l + 1);

return ;

}

PushDown(rt , r - l + 1);

int m = (l + r) >> 1;

if (L <= m) update(L , R , c , lson);

if (R > m) update(L , R , c , rson);

PushUp(rt);

}

int main() {

int T , n , m;

scanf("%d",&T);

for (int cas = 1 ; cas <= T ; cas ++) {

scanf("%d%d",&n,&m);

build(1 , n , 1);

while (m --) {

int a , b , c;

scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);

update(a , b , c , 1 , n , 1);

}

printf("Case %d: The total value of the hook is %d.\n",cas , sum[1]);

}

return 0;

}

poj3468 A Simple Problem with Integers

题意:O(-1)

思路:O(-1)

线段树功能:update:成段增减 query:区间求和

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print?

#include <cstdio>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define lson l , m , rt << 1

#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

#define LL long long

const int maxn = 111111;

LL add[maxn<<2];

LL sum[maxn<<2];

void PushUp(int rt) {

sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];

}

void PushDown(int rt,int m) {

if (add[rt]) {

add[rt<<1] += add[rt];

add[rt<<1|1] += add[rt];

sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));

sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);

add[rt] = 0;

}

}

void build(int l,int r,int rt) {

add[rt] = 0;

if (l == r) {

scanf("%lld",&sum[rt]);

return ;

}

int m = (l + r) >> 1;

build(lson);

build(rson);

PushUp(rt);

}

void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {

if (L <= l && r <= R) {

add[rt] += c;

sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);

return ;

}

PushDown(rt , r - l + 1);

int m = (l + r) >> 1;

if (L <= m) update(L , R , c , lson);

if (m < R) update(L , R , c , rson);

PushUp(rt);

}

LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) {

if (L <= l && r <= R) {

return sum[rt];

}

PushDown(rt , r - l + 1);

int m = (l + r) >> 1;

LL ret = 0;

if (L <= m) ret += query(L , R , lson);

if (m < R) ret += query(L , R , rson);

return ret;

}

int main() {

int N , Q;

scanf("%d%d",&N,&Q);

build(1 , N , 1);

while (Q --) {

char op[2];

int a , b , c;

scanf("%s",op);

if (op[0] == 'Q') {

scanf("%d%d",&a,&b);

printf("%lld\n",query(a , b , 1 , N , 1));

} else {

scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);

update(a , b , c , 1 , N , 1);

}

}

return 0;

}

poj2528 Mayor’s posters

题意:在墙上贴海报,海报可以互相覆盖,问最后可以看见几张海报

思路:这题数据范围很大,直接搞超时+超内存,需要离散化:

离散化简单的来说就是只取我们需要的值来用,比如说区间[1000,2000],[1990,2012] 我们用不到[-∞,999][1001,1989][1991,1999][2001,2011][2013,+∞]这些值,所以我只需要1000,1990,2000,2012就够了,将其分别映射到0,1,2,3,在于复杂度就大大的降下来了

所以离散化要保存所有需要用到的值,排序后,分别映射到1~n,这样复杂度就会小很多很多

而这题的难点在于每个数字其实表示的是一个单位长度(并非一个点),这样普通的离散化会造成许多错误(包括我以前的代码,poj这题数据奇弱)

给出下面两个简单的例子应该能体现普通离散化的缺陷:

例子一:1-10 1-4 5-10

例子二:1-10 1-4 6-10

普通离散化后都变成了[1,4][1,2][3,4]

线段2覆盖了[1,2],线段3覆盖了[3,4],那么线段1是否被完全覆盖掉了呢?

例子一是完全被覆盖掉了,而例子二没有被覆盖

为了解决这种缺陷,我们可以在排序后的数组上加些处理,比如说[1,2,6,10]

如果相邻数字间距大于1的话,在其中加上任意一个数字,比如加成[1,2,3,6,7,10],然后再做线段树就好了.

线段树功能:update:成段替换 query:简单hash

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print?

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define lson l , m , rt << 1

#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

const int maxn = 11111;

bool hash[maxn];

int li[maxn] , ri[maxn];

int X[maxn*3];

int col[maxn<<4];

int cnt;

void PushDown(int rt) {

if (col[rt] != -1) {

col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt];

col[rt] = -1;

}

}

void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {

if (L <= l && r <= R) {

col[rt] = c;

return ;

}

PushDown(rt);

int m = (l + r) >> 1;

if (L <= m) update(L , R , c , lson);

if (m < R) update(L , R , c , rson);

}

void query(int l,int r,int rt) {

if (col[rt] != -1) {

if (!hash[col[rt]]) cnt ++;

hash[ col[rt] ] = true;

return ;

}

if (l == r) return ;

int m = (l + r) >> 1;

query(lson);

query(rson);

}

int Bin(int key,int n,int X[]) {

int l = 0 , r = n - 1;

while (l <= r) {

int m = (l + r) >> 1;

if (X[m] == key) return m;

if (X[m] < key) l = m + 1;

else r = m - 1;

}

return -1;

}

int main() {

int T , n;

scanf("%d",&T);

while (T --) {

scanf("%d",&n);

int nn = 0;

for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {

scanf("%d%d",&li[i] , &ri[i]);

X[nn++] = li[i];

X[nn++] = ri[i];

}

sort(X , X + nn);

int m = 1;

for (int i = 1 ; i < nn; i ++) {

if (X[i] != X[i-1]) X[m ++] = X[i];

}

for (int i = m - 1 ; i > 0 ; i --) {

if (X[i] != X[i-1] + 1) X[m ++] = X[i-1] + 1;

}

sort(X , X + m);

memset(col , -1 , sizeof(col));

for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {

int l = Bin(li[i] , m , X);

int r = Bin(ri[i] , m , X);

update(l , r , i , 0 , m , 1);

}

cnt = 0;

memset(hash , false , sizeof(hash));

query(0 , m , 1);

printf("%d\n",cnt);

}

return 0;

}

poj3225 Help with Intervals

题意:区间操作,交,并,补等

思路:

我们一个一个操作来分析:(用0和1表示是否包含区间,-1表示该区间内既有包含又有不包含)

U:把区间[l,r]覆盖成1

I:把[-∞,l)(r,∞]覆盖成0

D:把区间[l,r]覆盖成0

C:把[-∞,l)(r,∞]覆盖成0 , 且[l,r]区间0/1互换

S:[l,r]区间0/1互换

成段覆盖的操作很简单,比较特殊的就是区间0/1互换这个操作,我们可以称之为异或操作

很明显我们可以知道这个性质:当一个区间被覆盖后,不管之前有没有异或标记都没有意义了

所以当一个节点得到覆盖标记时把异或标记清空

而当一个节点得到异或标记的时候,先判断覆盖标记,如果是0或1,直接改变一下覆盖标记,不然的话改变异或标记

开区间闭区间只要数字乘以2就可以处理(偶数表示端点,奇数表示两端点间的区间)

线段树功能:update:成段替换,区间异或 query:简单hash

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print?

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <cctype>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define lson l , m , rt << 1

#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

const int maxn = 131072;

bool hash[maxn+1];

int cover[maxn<<2];

int XOR[maxn<<2];

void FXOR(int rt) {

if (cover[rt] != -1) cover[rt] ^= 1;

else XOR[rt] ^= 1;

}

void PushDown(int rt) {

if (cover[rt] != -1) {

cover[rt<<1] = cover[rt<<1|1] = cover[rt];

XOR[rt<<1] = XOR[rt<<1|1] = 0;

cover[rt] = -1;

}

if (XOR[rt]) {

FXOR(rt<<1);

FXOR(rt<<1|1);

XOR[rt] = 0;

}

}

void update(char op,int L,int R,int l,int r,int rt) {

if (L <= l && r <= R) {

if (op == 'U') {

cover[rt] = 1;

XOR[rt] = 0;

} else if (op == 'D') {

cover[rt] = 0;

XOR[rt] = 0;

} else if (op == 'C' || op == 'S') {

FXOR(rt);

}

return ;

}

PushDown(rt);

int m = (l + r) >> 1;

if (L <= m) update(op , L , R , lson);

else if (op == 'I' || op == 'C') {

XOR[rt<<1] = cover[rt<<1] = 0;

}

if (m < R) update(op , L , R , rson);

else if (op == 'I' || op == 'C') {

XOR[rt<<1|1] = cover[rt<<1|1] = 0;

}

}

void query(int l,int r,int rt) {

if (cover[rt] == 1) {

for (int it = l ; it <= r ; it ++) {

hash[it] = true;

}

return ;

} else if (cover[rt] == 0) return ;

if (l == r) return ;

PushDown(rt);

int m = (l + r) >> 1;

query(lson);

query(rson);

}

int main() {

cover[1] = XOR[1] = 0;

char op , l , r;

int a , b;

while ( ~scanf("%c %c%d,%d%c\n",&op , &l , &a , &b , &r) ) {

a <<= 1 , b <<= 1;

if (l == '(') a ++;

if (r == ')') b --;

if (a > b) {

if (op == 'C' || op == 'I') {

cover[1] = XOR[1] = 0;

}

} else update(op , a , b , 0 , maxn , 1);

}

query(0 , maxn , 1);

bool flag = false;

int s = -1 , e;

for (int i = 0 ; i <= maxn ; i ++) {

if (hash[i]) {

if (s == -1) s = i;

e = i;

} else {

if (s != -1) {

if (flag) printf(" ");

flag = true;

printf("%c%d,%d%c",s&1?'(':'[' , s>>1 , (e+1)>>1 , e&1?')':']');

s = -1;

}

}

}

if (!flag) printf("empty set");

puts("");

return 0;

}

练习

poj1436
Horizontally Visible Segments

poj2991
Crane

Another
LCIS

Bracket
Sequence

区间合并

这类题目会询问区间中满足条件的连续最长区间,所以PushUp的时候需要对左右儿子的区间进行合并

poj3667
Hotel

题意:1 a:询问是不是有连续长度为a的空房间,有的话住进最左边

2 a b:将[a,a+b-1]的房间清空

思路:记录区间中最长的空房间

线段树操作:update:区间替换 query:询问满足条件的最左断点

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#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <cctype>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define lson l , m , rt << 1

#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

const int maxn = 55555;

int lsum[maxn<<2] , rsum[maxn<<2] , msum[maxn<<2];

int cover[maxn<<2];

void PushDown(int rt,int m) {

if (cover[rt] != -1) {

cover[rt<<1] = cover[rt<<1|1] = cover[rt];

msum[rt<<1] = lsum[rt<<1] = rsum[rt<<1] = cover[rt] ? 0 : m - (m >> 1);

msum[rt<<1|1] = lsum[rt<<1|1] = rsum[rt<<1|1] = cover[rt] ? 0 : (m >> 1);

cover[rt] = -1;

}

}

void PushUp(int rt,int m) {

lsum[rt] = lsum[rt<<1];

rsum[rt] = rsum[rt<<1|1];

if (lsum[rt] == m - (m >> 1)) lsum[rt] += lsum[rt<<1|1];

if (rsum[rt] == (m >> 1)) rsum[rt] += rsum[rt<<1];

msum[rt] = max(lsum[rt<<1|1] + rsum[rt<<1] , max(msum[rt<<1] , msum[rt<<1|1]));

}

void build(int l,int r,int rt) {

msum[rt] = lsum[rt] = rsum[rt] = r - l + 1;

cover[rt] = -1;

if (l == r) return ;

int m = (l + r) >> 1;

build(lson);

build(rson);

}

void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {

if (L <= l && r <= R) {

msum[rt] = lsum[rt] = rsum[rt] = c ? 0 : r - l + 1;

cover[rt] = c;

return ;

}

PushDown(rt , r - l + 1);

int m = (l + r) >> 1;

if (L <= m) update(L , R , c , lson);

if (m < R) update(L , R , c , rson);

PushUp(rt , r - l + 1);

}

int query(int w,int l,int r,int rt) {

if (l == r) return l;

PushDown(rt , r - l + 1);

int m = (l + r) >> 1;

if (msum[rt<<1] >= w) return query(w , lson);

else if (rsum[rt<<1] + lsum[rt<<1|1] >= w) return m - rsum[rt<<1] + 1;

return query(w , rson);

}

int main() {

int n , m;

scanf("%d%d",&n,&m);

build(1 , n , 1);

while (m --) {

int op , a , b;

scanf("%d",&op);

if (op == 1) {

scanf("%d",&a);

if (msum[1] < a) puts("0");

else {

int p = query(a , 1 , n , 1);

printf("%d\n",p);

update(p , p + a - 1 , 1 , 1 , n , 1);

}

} else {

scanf("%d%d",&a,&b);

update(a , a + b - 1 , 0 , 1 , n , 1);

}

}

return 0;

}

练习

hdu3308
LCIS

hdu3397
Sequence operation

hdu2871
Memory Control

hdu1540
Tunnel Warfare

CF46-D
Parking Lot

扫描线

这类题目需要将一些操作排序,然后从左到右用一根扫描线(当然是在我们脑子里)扫过去

最典型的就是矩形面积并,周长并等题

hdu1542
Atlantis

题意:矩形面积并

思路:浮点数先要离散化;然后把矩形分成两条边,上边和下边,对横轴建树,然后从下到上扫描上去,用cnt表示该区间下边比上边多几个,sum代表该区间内被覆盖的线段的长度总和

这里线段树的一个结点并非是线段的一个端点,而是该端点和下一个端点间的线段,所以题目中r+1,r-1的地方可以自己好好的琢磨一下
线段树操作:update:区间增减
query:直接取根节点的值



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print?

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <cctype>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define lson l , m , rt << 1

#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

const int maxn = 2222;

int cnt[maxn << 2];

double sum[maxn << 2];

double X[maxn];

struct Seg {

double h , l , r;

int s;

Seg(){}

Seg(double a,double b,double c,int d) : l(a) , r(b) , h(c) , s(d) {}

bool operator < (const Seg &cmp) const {

return h < cmp.h;

}

}ss[maxn];

void PushUp(int rt,int l,int r) {

if (cnt[rt]) sum[rt] = X[r+1] - X[l];

else if (l == r) sum[rt] = 0;

else sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];

}

void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {

if (L <= l && r <= R) {

cnt[rt] += c;

PushUp(rt , l , r);

return ;

}

int m = (l + r) >> 1;

if (L <= m) update(L , R , c , lson);

if (m < R) update(L , R , c , rson);

PushUp(rt , l , r);

}

int Bin(double key,int n,double X[]) {

int l = 0 , r = n - 1;

while (l <= r) {

int m = (l + r) >> 1;

if (X[m] == key) return m;

if (X[m] < key) l = m + 1;

else r = m - 1;

}

return -1;

}

int main() {

int n , cas = 1;

while (~scanf("%d",&n) && n) {

int m = 0;

while (n --) {

double a , b , c , d;

scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d);

X[m] = a;

ss[m++] = Seg(a , c , b , 1);

X[m] = c;

ss[m++] = Seg(a , c , d , -1);

}

sort(X , X + m);

sort(ss , ss + m);

int k = 1;

for (int i = 1 ; i < m ; i ++) {

if (X[i] != X[i-1]) X[k++] = X[i];

}

memset(cnt , 0 , sizeof(cnt));

memset(sum , 0 , sizeof(sum));

double ret = 0;

for (int i = 0 ; i < m - 1 ; i ++) {

int l = Bin(ss[i].l , k , X);

int r = Bin(ss[i].r , k , X) - 1;

if (l <= r) update(l , r , ss[i].s , 0 , k - 1, 1);

ret += sum[1] * (ss[i+1].h - ss[i].h);

}

printf("Test case #%d\nTotal explored area: %.2lf\n\n",cas++ , ret);

}

return 0;

}

hdu1828 Picture

题意:矩形周长并

思路:与面积不同的地方是还要记录竖的边有几个(numseg记录),并且当边界重合的时候需要合并(用lbd和rbd表示边界来辅助)

线段树操作:update:区间增减 query:直接取根节点的值

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print?

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <cctype>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define lson l , m , rt << 1

#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

const int maxn = 22222;

struct Seg{

int l , r , h , s;

Seg() {}

Seg(int a,int b,int c,int d):l(a) , r(b) , h(c) , s(d) {}

bool operator < (const Seg &cmp) const {

if (h == cmp.h) return s > cmp.s;

return h < cmp.h;

}

}ss[maxn];

bool lbd[maxn<<2] , rbd[maxn<<2];

int numseg[maxn<<2];

int cnt[maxn<<2];

int len[maxn<<2];

void PushUP(int rt,int l,int r) {

if (cnt[rt]) {

lbd[rt] = rbd[rt] = 1;

len[rt] = r - l + 1;

numseg[rt] = 2;

} else if (l == r) {

len[rt] = numseg[rt] = lbd[rt] = rbd[rt] = 0;

} else {

lbd[rt] = lbd[rt<<1];

rbd[rt] = rbd[rt<<1|1];

len[rt] = len[rt<<1] + len[rt<<1|1];

numseg[rt] = numseg[rt<<1] + numseg[rt<<1|1];

if (lbd[rt<<1|1] && rbd[rt<<1]) numseg[rt] -= 2;//两条线重合

}

}

void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {

if (L <= l && r <= R) {

cnt[rt] += c;

PushUP(rt , l , r);

return ;

}

int m = (l + r) >> 1;

if (L <= m) update(L , R , c , lson);

if (m < R) update(L , R , c , rson);

PushUP(rt , l , r);

}

int main() {

int n;

while (~scanf("%d",&n)) {

int m = 0;

int lbd = 10000, rbd = -10000;

for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {

int a , b , c , d;

scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);

lbd = min(lbd , a);

rbd = max(rbd , c);

ss[m++] = Seg(a , c , b , 1);

ss[m++] = Seg(a , c , d , -1);

}

sort(ss , ss + m);

int ret = 0 , last = 0;

for (int i = 0 ; i < m ; i ++) {

if (ss[i].l < ss[i].r) update(ss[i].l , ss[i].r - 1 , ss[i].s , lbd , rbd - 1 , 1);

ret += numseg[1] * (ss[i+1].h - ss[i].h);

ret += abs(len[1] - last);

last = len[1];

}

printf("%d\n",ret);

}

return 0;

}

练习

hdu3265
Posters

hdu3642
Get The Treasury

poj2482
Stars in Your Window

poj2464
Brownie Points II

hdu3255
Farming

ural1707
Hypnotoad’s Secret

uva11983
Weird Advertisement

多颗线段树问题

此类题目主用特点是区间不连续，有一定规律间隔，用多棵树表示不同的偏移区间
hdu
4288 coder
题意：

维护一个有序数列{An}，有三种操作：

1、添加一个元素。

2、删除一个元素。

3、求数列中下标%5 = 3的值的和。

由于有删除和添加操作，所以离线离散操作，节点中cnt存储区间中有几个数，sum存储偏移和

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#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int maxn=100002;

#define lson l , m , rt << 1

#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

__int64 sum[maxn<<2][6];

int cnt[maxn << 2];

char op[maxn][20];

int a[maxn];

int X[maxn];

void PushUp(int rt)

{

cnt[rt] = cnt[rt<<1] + cnt[rt<<1|1];

int offset = cnt[rt<<1];

for(int i = 0; i < 5; ++i)

{

sum[rt][i] = sum[rt<<1][i];

}

for(int i = 0; i < 5; ++i)

{

sum[rt][(i + offset) % 5] += sum[rt<<1|1][i];

}

}

void Build(int l, int r, int rt)

{ /*此题Build完全可以用一个memset代替*/

cnt[rt] = 0;

for(int i = 0; i < 5; ++i) sum[rt][i] = 0;

if( l == r ) return;

int m = ( l + r )>>1;

Build(lson);

Build(rson);

}

void Updata(int p, int op, int l, int r, int rt)

{

if( l == r )

{

cnt[rt] = op;

sum[rt][1] = op * X[l-1];

return ;

}

int m = ( l + r ) >> 1;

if(p <= m)

Updata(p, op, lson);

else

Updata(p, op, rson);

PushUp(rt);

}

int main()

{

int n;

while(scanf("%d", &n) != EOF)

{

int nn = 0;

for(int i = 0; i < n; ++i)

{

scanf("%s", &op[i]);

if(op[i][0] != 's')

{

scanf("%d", &a[i]);

if(op[i][0] == 'a')

{

X[nn++] = a[i];

}

}

}

sort(X,X+nn);/*unique前必须sort*/

nn = unique(X, X + nn) - X; /*去重并得到总数*/

Build(1, nn, 1);

for(int i = 0; i < n; ++i)

{

int pos = upper_bound(X, X+nn, a[i]) - X; /* hash */

if(op[i][0] == 'a')

{

Updata(pos, 1, 1, nn, 1);

}

else if(op[i][0] == 'd')

{

Updata(pos, 0, 1, nn, 1);

}

else printf("%I64d\n",sum[1][3]);

}

}

return 0;

}

2：hdu 4267 A simple problem with integers
题目：给出n个数，每次将一段区间内满足(i-l)%k==0 （r>=i>=l） 的数ai增加c,
最后单点查询。

这种题目更新的区间是零散的，如果可以通过某种方式让离散的都变得连续，那么问题就可以用线段树完美解决。解决方式一般也是固定的，那就是利用题意维护多颗线段树。此题虚维护55颗，更新最终确定在一颗上，查询则将查询点被包含的树全部叠加。

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#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<set>

#include<vector>

#include<string>

#include<map>

#define eps 1e-7

#define LL long long

#define N 500005

#define zero(a) fabs(a)<eps

#define lson step<<1

#define rson step<<1|1

#define MOD 1234567891

#define pb(a) push_back(a)

using namespace std;

struct Node{

int left,right,add[55],sum;

int mid(){return (left+right)/2;}

}L[4*N];

int a
,n,b[11][11];

void Bulid(int step ,int l,int r){

L[step].left=l;

L[step].right=r;

L[step].sum=0;

memset(L[step].add,0,sizeof(L[step].add));

if(l==r) return ;

Bulid(lson,l,L[step].mid());

Bulid(rson,L[step].mid()+1,r);

}

void push_down(int step){

if(L[step].sum){

L[lson].sum+=L[step].sum;

L[rson].sum+=L[step].sum;

L[step].sum=0;

for(int i=0;i<55;i++){

L[lson].add[i]+=L[step].add[i];

L[rson].add[i]+=L[step].add[i];

L[step].add[i]=0;

}

}

}

void update(int step,int l,int r,int num,int i,int j){

if(L[step].left==l&&L[step].right==r){

L[step].sum+=num;

L[step].add[b[i][j]]+=num;

return;

}

push_down(step);

if(r<=L[step].mid()) update(lson,l,r,num,i,j);

else if(l>L[step].mid()) update(rson,l,r,num,i,j);

else {

update(lson,l,L[step].mid(),num,i,j);

update(rson,L[step].mid()+1,r,num,i,j);

}

}

int query(int step,int pos){

if(L[step].left==L[step].right){

int tmp=0;

for(int i=1;i<=10;i++) tmp+=L[step].add[b[i][pos%i]];

return a[L[step].left]+tmp;

}

push_down(step);

if(pos<=L[step].mid()) return query(lson,pos);

else return query(rson,pos);

}

int main(){

int cnt=0;

for(int i=1;i<=10;i++) for(int j=0;j<i;j++) b[i][j]=cnt++;

while(scanf("%d",&n)!=EOF){

for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);

Bulid(1,1,n);

int q,d;

scanf("%d",&q);

while(q--){

int k,l,r,m;

scanf("%d",&k);

if(k==2){

scanf("%d",&m);

printf("%d\n",query(1,m));

}

else{

scanf("%d%d%d%d",&l,&r,&d,&m);

update(1,l,r,m,d,l%d);

}

}

}

return 0;

}

线段树与其他结合练习(欢迎大家补充):

hdu3954 Level up
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