数据结构总结（6）

树（一对多）
{
  树的定义（递归）：
     树（Tree）是n（n≥0）个结点的有限集，它或为空树（n = 0）；或为非空树，对于非空树T：
（1）有且仅有一个称之为根的结点；
（2）除根结点以外的其余结点可分为m（m＞0）个互不相交的有限集T1, T2, …, Tm, 其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。
  树的一般表示：


 
  树的其它表示（三种）


 
  基本术语1
  根--------------根结点（无前驱） 
  叶子-----------终端结点（没有后继）
  森林-----------指m课不相交的数的集合
  有序树--------结点各子树从左到右有序，不能互换（二叉树）
  无序树--------结点的各子树可互换位置。
  双亲-----------即上层的那个结点（直接前驱）
  孩子-----------即下层结点的子树的根（直接后继）
  兄弟-----------同一双亲下的同层结点（孩子之间互称兄弟）
  堂兄弟--------即双亲位于同一层的结点（并非同一双亲）
  祖先-----------即从根到该结点所经分支的所有结点
  子孙-----------即该结点下层子树中的任一结点 
  基本术语1
  结点-----------即树的数据元素
  结点的度-----结点挂接的子树数
  结点的层次--从根的该结点的层数（根结点算第一层）
  终端结点-----即度为0的结点，即叶子
  分支结点-----即度不为0的结点（也称为内部结点）
  树的度--------所有结点度中的最大值
  树的深度----指所有结点中的最大的层次（高度） 
 
  逻辑结构：
    二叉树、树和森林
  存储结构：
    顺序存储树和链式存储树
} 
 
二叉树（树的特殊化，有序树的一种）
{
  二叉树的定义：
    二叉树（Binary Tree）是n（n≥0）个结点所构成的集合，它或为空树（n = 0）；或为 非空树，对于非空树T：
（1）有且仅有一个称之为根的结点；
（2）除根结点以外的其余结点分为两个互不相交的子集T1和T2，分别称为T的左子树
和右子树，且T1和T2本身又都是二叉树。
  二叉树的基本特点：
  （1）结点的度小于等于2.
  （2）有序树（分左右子树）
  二叉树与树的关系：
  （1）二叉树是树的特殊化，是有序树的一种。
  （2）所有的树都可以转化为唯一二叉树，不失一般性。
  二叉树的性质
   性质1：在二叉树的第i层至多有2^(i-1)个结点。
          提问：第i层上至少有     个结点？
   性质2：深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点
          提问：深度为k时至少有     个结点？
性质3： 对于任何一棵二叉树，若2度的结点数有n2个，则叶子数n0必定为n2＋1 （即n0=n2+1）
*性质3由边和结点关系推出：n=n0+n1+n2;e=n-1=n1+2*n2;n0=n2+1;
特殊形态的二叉树


 
性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度必为[log2n]＋1
性质5: 对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i＋1；其双亲的编号必为i/2。
 
 
 
   二叉树的存储结构 
}
 
二叉树的存储结构
{
  顺序存储结构


 
   特点：
   结点间关系蕴含在其存储位置中
   浪费空间，适于存满二叉树和完全二叉树
   二叉树的链式存储（左孩子右孩子）
   



 
空指针数目＝2n－(n-1)=n+1
二叉链表类型定义：
typedef struct BiNode{
   TElemType   data;
   struct  BiNode   *lchild,*rchild; //左右孩子指针
}BiNode,*BiTree; 
遍历二叉树和线索二叉树
{
   遍历二叉树：
   （1）先序遍历（前缀表示）  例：+ * * / A B C D E
   （2）中序遍历（中缀表示）  例：A / B * C * D + E （数学一般的表达形式）
   （3）后序遍历（后缀表示）  例：A B / C * D * E +
   （4）层序遍历              例：+ * E * D / C A B
   遍历算法（先序为例）：
    回忆
    long Factorial ( long n ) {
    if ( n == 0 ) return 1;//基本项
else return n * Factorial (n-1); //归纳项}
先序遍历（先序遍历建立二叉树）
Status PreOrderTraverse(BiTree T){
  if(T==NULL) return OK; //空二叉树    
  else{    
     cout<<T->data; //访问根结点
     PreOrderTraverse(T->lchild); //递归遍历左子树
     PreOrderTraverse(T->rchild); //递归遍历右子树
    }
} 
void CreateBiTree(BiTree &T）{
cin>>ch;
if (ch==’#’)   T=NULL;  
//递归结束，建空树
else{
    T=new BiTNode;    T-＞data=ch;   //生成根结点
    CreateBiTree(T-＞lchild);  //递归创建左子树
    CreateBiTree(T-＞rchild); //递归创建右子树
  }

}
遍历算法分析
时间效率:O(n) //每个结点只访问一次
空间效率:O(n) //栈占用的最大辅助空间
 
 
   线索二叉树 （利用二叉链树的n+1个空链域） 
   


LTag  :若 LTag=0, lchild域指向左孩子；
       若 LTag=1, lchild域指向其前驱。
RTag  :若 RTag=0, rchild域指向右孩子；
       若 RTag=1, rchild域指向其后继。
哈夫曼树及其应用----最优二叉树
{
   哈夫曼树的应用实例
   {
    哈夫曼编码（前缀编码）
 


 
    *左分支用“0”，右分支用“1”
     
 
   待编码字符：ABACCDA
   编码表：
 
   A—0
   B—110
   C—10
   D—111
   原则：出现次数较多的字符采用尽可能短的编码，要设计长度不等的编码，则必须使任一字符的编码都不是另一个字符的编码的前缀－前缀编码
    }
   哈夫曼树
   {
       术语： 
     （1）路径：由一结点到另一个结点间的分支所构成
     （2）路径长度：路径上的分支数目
     （3）带权路径的长度：结点到根的路径长度与结点上权的乘积
     （4）树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度之和
                             

 
     （5）哈夫曼树：带权路径长度最小的树
   } 
}
} 
 
 
 
}