Matlab的曲线拟合工具箱CFtool使用简介及一种非线性函数的曲线拟合方法（函数公式： k = A*(T^a)*exp(E/T) ）

原网址：http://blog.csdn.net/chenyusiyuan/article/details/1942605

今天帮同学做了一个非线性函数的曲线拟合，以前没做过，所以是摸着石头过河。费了一下午时间，终于把曲线拟合出来了，顺道也学习了使用Matlab进行曲线拟合的方法，把学习所得记录下来，和大家共享。

一、 单一变量的曲线逼近

Matlab有一个功能强大的曲线拟合工具箱 cftool ，使用方便，能实现多种类型的线性、非线性曲线拟合。下面结合我使用的 Matlab R2007b 来简单介绍如何使用这个工具箱。

假设我们要拟合的函数形式是 y=A*x*x + B*x, 且A>0,B>0 。

1、在命令行输入数据：

》x=[110.3323 148.7328 178.064 202.8258033 224.7105 244.5711 262.908 280.0447 296.204 311.5475]；

》y=[5 10 15 20 25 30 35 40 45 50]；

2、启动曲线拟合工具箱

》cftool

3、进入曲线拟合工具箱界面“Curve Fitting tool”

（1）点击“Data”按钮，弹出“Data”窗口；

（2）利用X data和Y data的下拉菜单读入数据x,y，可修改数据集名“Data
set name”，然后点击“Create data set”按钮，退出“Data”窗口，返回工具箱界面，这时会自动画出数据集的曲线图；

（3）点击“Fitting”按钮，弹出“Fitting”窗口；

（4）点击“New fit”按钮，可修改拟合项目名称“Fit name”，通过“Data
set”下拉菜单选择数据集，然后通过下拉菜单“Type of fit”选择拟合曲线的类型，工具箱提供的拟合类型有：

· Custom Equations：用户自定义的函数类型
· Exponential：指数逼近，有2种类型， a*exp(b*x) 、 a*exp(b*x)
+ c*exp(d*x)
· Fourier：傅立叶逼近，有7种类型，基础型是 a0
+ a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)
· Gaussian：高斯逼近，有8种类型，基础型是 a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)
· Interpolant：插值逼近，有4种类型，linear、nearest
neighbor、cubic spline、shape-preserving
· Polynomial：多形式逼近，有9种类型，linear
~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~
· Power：幂逼近，有2种类型，a*x^b 、a*x^b
+ c
· Rational：有理数逼近，分子、分母共有的类型是linear ~、quadratic
~、cubic ~、4-5th degree ~；此外，分子还包括constant型
· Smoothing Spline：平滑逼近（翻译的不大恰当，不好意思）
· Sum of Sin Functions：正弦曲线逼近，有8种类型，基础型是 a1*sin(b1*x
+ c1)
· Weibull：只有一种，a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)

选择好所需的拟合曲线类型及其子类型，并进行相关设置：

——如果是非自定义的类型，根据实际需要点击“Fit options”按钮，设置拟合算法、修改待估计参数的上下限等参数；

——如果选Custom Equations，点击“New”按钮，弹出自定义函数等式窗口，有“Linear Equations线性等式”和“General
Equations构造等式”两种标签。

在本例中选Custom Equations，点击“New”按钮，选择“General Equations”标签，输入函数类型y=a*x*x
+ b*x，设置参数a、b的上下限，然后点击OK。

（5）类型设置完成后，点击“Apply”按钮，就可以在Results框中得到拟合结果，如下例：

general model:

f(x) = a*x*x+b*x

Coefficients (with 95% confidence bounds):

a = 0.009194 (0.009019, 0.00937)

b = 1.78e-011 (fixed at bound)

Goodness of fit:

SSE: 6.146

R-square: 0.997

Adjusted R-square: 0.997

RMSE: 0.8263

同时，也会在工具箱窗口中显示拟合曲线。

这样，就完成一次曲线拟合啦，十分方便快捷。当然，如果你觉得拟合效果不好，还可以在“Fitting”窗口点击“New fit”按钮，按照步骤（4）~（5）进行一次新的拟合。

不过，需要注意的是，cftool 工具箱只能进行单个变量的曲线拟合，即待拟合的公式中，变量只能有一个。对于混合型的曲线，例如 y = a*x + b/x ，工具箱的拟合效果并不好。下面我介绍帮同学做的一个非线性函数的曲线拟合。

上面说了，函数的曲线拟合我以前没做过，所以是摸着石头过河，不知道所采用的方法是否合理，虽然是完成了拟合，不过我觉得自己采用的拟合方法还是比较原始的，希望做曲线拟合的朋友多多指教。

原始数据如下：

T(K) K

200.00 2.5069E-13

220.00 3.5043E-13

223.00 3.6741E-13

225.00 3.7904E-13

250.00 5.4617E-13

275.00 7.5744E-13

295.00 9.6192E-13

298.00 9.9551E-13

300.00 1.0183E-12

325.00 1.3346E-12

350.00 1.7119E-12

375.00 2.1564E-12

400.00 2.6739E-12

425.00 3.2706E-12

450.00 3.9527E-12

475.00 4.7261E-12

480.00 4.8922E-12

500.00 5.5968E-12

525.00 6.5710E-12

550.00 7.6544E-12

575.00 8.8529E-12

600.00 1.0172E-11

800.00 2.5705E-11

1000.00 5.1733E-11

1250.00 1.0165E-10

目标：拟合成 k = A*(T^a)*exp(E/T) 模式的公式，

其中A、a和E为未知常数，是我们需要通过曲线拟合要求出的数据。

拟合目标中的公式是幂逼近和指数逼近的混合，用Matlab的cftool 工具箱的自定义函数来逼近，效果并不理想，所以我就参考了网上的一些博客和百度知道等资源，采取如下策略：

首先将非线性的拟合公式转化为线性公式，再用求解线性方程组的矩阵方法求出未知常数的值。

具体地说，拟合公式的线性化表达式为： log(k) = log(A) + a*log(T) + E/T 。这里有三个未知常数log(A)、a 和 E，则依次取T，K各三个数据，组成 N 个线性方程组： Cx=b，

其中：x=[log(A), a, E], C=[1, log(T), 1/T], b=log(k) 。

解这些线性方程组，得到所有方程组的解组成的解矩阵 xMat，其大小为 N*3，对解矩阵的每一列求平均，即可得到所求的未知常数值。

根据以上策略，可求得未知常数A、a和E的值如下：

A = 3.8858e-020，a = 3.0595，E = -117.2915

程序源码：

function [A,a,E]= fun_NLFit(T,K)

% 函数 FUN_NLFIT() 根据输入T，K的数据集，求出拟合公式 k = A*(T^a)*exp(E/T)

% 的未知常数 A,a,E 。

logT=log(T);

logK=log(K);

daoT=T.^(-1);

lenT=length(T);

C=ones(3);

xMat=[];

% 为了提高拟合精度，从第一个数据点开始，依次分别取T、K的三个相邻的数据点

% 组成线性方程组，若 T 有 lenT 个元素，则可组成 lenT-2 个方程组

for r=1:lenT-2

C(:,2)=logT(r:r+2);

C(:,3)=daoT(r:r+2);

b=logK(r:r+2);

% C=[1 log(T) 1/T], b=log(k)

x=(C/b)';

xMat=[xMat; x];

% 每解一次方程组，则将解 x 存入解矩阵 xMat

end

% 对解矩阵的每一列求平均，即可得到所求的未知常数值

logA=mean(xMat(:,1));

A=exp(logA);

a=mean(xMat(:,2));

E=mean(xMat(:,3));

% 画出由点集T、K构成的目标曲线

h1=stem(T,K,'bo'); % ‘bo’表示每个点用一个小圆圈表示

set(h1,'MarkerFaceColor','green'); % 小圆圈内的颜色为绿色

set(h1,'LineStyle','none'); % 隐藏基线到点的连线

set(get(h1,'BaseLine'),'LineStyle','none'); % 隐藏基线

hold on; % 保持由点集构成的目标曲线，以便和拟合曲线进行对比

% 根据拟合公式，求出若干的拟合点，画出拟合曲线

t=200:10:1300;

k=A*(t^a)*exp(E/t);

plot(t,k,'r');

% 拟合曲线用红色表示

xlabel('T'); ylabel('K'); title('Nonlinear Curve Fitting');

拟合效果图如下：