【NOI 2014】【BZOJ 3670】动物园 题解&代码（C++）

【NOI2014】动物园

近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的园长决定开设算法班，让动物们学习算法。 某天，园长给动物们讲解KMP算法。

园长：“对于一个字符串SS它的长度为LL。我们可以在O(L)O(L)的时间内求出一个名为next的数组。有谁预习了next数组的含义吗？”

熊猫：“对于字符串SS的前ii个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中，它本身除外，最长的长度记作 next[i]。”

园长:“非常好,那你能举个例子吗?”

熊猫:“例如SS为abcababc，则next[5]=2。因为S的前5个字符为abcab，ab既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出 next[1] = next[2] = next[3] = 0, next[4] = next[6] = 1, next[7] = 2, next[8] = 3。”

园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在O(L)O(L)的时间内求出next数组。下课前，园长提出了一个问题：“KMP算法只能求出next数组。我现在希望求出一个更强大num数组——对于字符串SS的前ii个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作num[i]。例如SS为aaaaa，则num[4]=2。这是因为SS的前44个字符为aaaa，其中a和aa都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而aaa虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’。但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，num[1]=0,num[2]=num[3]=1,num[5]=2。”

最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了。但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出num数组呢？

特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出num[i]分别是多少，你只需要输出 ∏Li=1(num[i]+1)∏i=1L(num[i]+1)对10000000071000000007取模的结果即可。

其中∏ni=1(num[i]+1)=(num[1]+1)×(num[2]+1)×⋯×(num
+1)∏i=1n(num[i]+1)=(num[1]+1)×(num[2]+1)×⋯×(num
+1)。

输入格式

输入文件的第1行仅包含一个正整数nn

表示测试数据的组数。 随后nn行，每行描述一组测试数据。

每组测试数据仅含有一个字符串SS，SS的定义详见题目描述。数据保证SS，中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。

输出格式

输出文件应包含nn行

每行描述一组测试数据的答案

答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对1000000007取模的结果。

输出文件中不应包含多余的空行

样例一

input

3

aaaaa

ab

abcababc

output

36

1

32

测试点编号 约定

1 n≤5,L≤50n≤5,L≤50

2 n≤5,L≤200n≤5,L≤200

3 n≤5,L≤200n≤5,L≤200

4 n≤5,L≤10000n≤5,L≤10000

5 n≤5,L≤10000n≤5,L≤10000

6 n≤5,L≤100000n≤5,L≤100000

7 n≤5,L≤200000n≤5,L≤200000

8 n≤5,L≤500000n≤5,L≤500000

9 n≤5,L≤1000000n≤5,L≤1000000

10 n≤5,L≤1000000

题解：

首先题上对kmp做了一堆乱七八糟的介绍，其次这道题也的确是用kmp来做。了解nex数组的性质后发现，其实要找到num[i]的话只需要不断递归求nex[i]，如果发现nex[i]不为-1，即在以i为结尾的字符串中，可以找到前缀与后缀相等的部分，那么num[i]++，接着找nex[nex[i]]如果发现仍不为-1，那么num[i]++，知道找到-1为止，在加之前再判断一下nex是否过半，即判断重叠之后再加，但很明显如果出一下特殊数据，

如aaaa….（若干个）….aaaaa，那么这个方法就会退化为n方的算法，这就需要对以上算法进行优化。

看到算num的过程我们可以发现，在递归nex的过程中会出现许多重复的操作，而且num好像可以通过之前求得的num递推出来，但仔细思考后发现递推最终的num是没有办法的，因此我们不妨在原定义的基础上简化一下，定义为“可重叠的既是后缀又是前缀的子串个数”，这样的话 伪num的递推过程就会简单许多，可以在求nex的过程中就将伪num求出来，即

伪num[i]=伪num[nex[i]]+1

这样的话可以发现实际上的num[i]=num[j]且j需要满足 j<=i/2，j=nex[nex[nex..i.]]],（不定数个nex），但是即使这样也会存在超时现象，因此我们需要存一下i-1时所找到的j，下次在直接用j+1来进行比较和回溯，不过想要完全ac似乎要用快乘，虽然不用快乘也可以ac，但那组最大的样例过不了即uoj上的样例2.

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define Mod (1000000007)
using namespace std;
char s[1000005];
long long ans;
int len,n,nex[1000005],num[1000005];
void getnex()
{
int j=-1;
num[0]=1;
nex[0]=-1;
for (int i=0;i<len;i++)
{
while( j!=-1 && s[j+1]!=s[i] ) j=nex[j];
if (s[j+1]==s[i] && i!=0) j++;
nex[i]=j;
if (j!=-1) num[i]=num[j]+1;
else num[i]=1;
}
}
void solve()
{
int j=-1;
for (int i=0;i<len;i++)
{
while(j!=-1 && s[j+1]!=s[i] )   j=nex[j];
if (s[j+1]==s[i] && i!=0)   j++;
if (j+1>(i+1)/2 && j!=-1)   j=nex[j];
if (j!=-1) ans=(ans*(num[j]+1)%Mod)%Mod;
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for (int w=1;w<=n;w++)
{
ans=1;
memset(num,0,sizeof(num));
scanf("%s",s);
len=strlen(s);
getnex();
solve();
printf("%lld\n",ans);
}
}