斐波那契数列

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大家在高中学习数学的时候，也许都接触过 斐波那契 数列：
1，1，2，3，5，8......
也就是说，除了第一个和第二个元素外，后面的元素的值均为其前两个元素值的和。但在我印象中，老师从来没有介绍过这个数列的通项公式(即一个数学表达式能清晰的表达出它的规律)。到了大学的时候，作为电子或者计算机相关学科的同学们，会学习C语言的相关知识，那个时候，典型的编程题，也会拿 斐波那契 数列举例。
首先，我们可以根据斐波那契数列的规律，得出它的推导公式：



然后，我们根据推导公式，很容易用C语言实现其算法
int result(int index) {
if (index == 1 || index == 2) {
return 1;
}
return result(index - 1) + result(index - 2);
}
紧接着的工作就是调用即可：
int main(int argc, const char * argv[]) {

clock_t start = clock();
printf("%d\n", result(45));
clock_t end = clock();

double duration = (double)(end - start);
printf( "%f seconds\n", duration / CLOCKS_PER_SEC);
return 0;
}
我们可以尝试传入不同的数值，便可以得到相应的结果。但是如上例中，当我尝试得到 斐波那契 数列的第45个位置的值时，耗时很久； 那是因为以上算法，采用的是递归算法；效率低下。 打印结果如下：



从上面的推导公式，可以看出来，我们并没有得到Fn关于n的函数，即通项公式。 上面只是利用计算机强行进行计算；但我们可以从数学的角度进一步分析 斐波那契 数列，即尝试得到它的通项公式！！！
一、 我们假设数列的生成函数如下：



其中 F1, F2, F3, F4... 就是斐波那契数列的值， 这里为1，1，2，3...
二、 将上面式子分别乘以 x 和 x的平方，结果如下：‘



三、 将上面式子，第一个 + 第二个 - 第三个
得到左边的结果：’



得到右边的结果：



而根据文章一开头的推导公式，我们知道 从 x的三次方之后， 其系数结果均为0， 所有右边的最终结果就是 -F1*x, 而F1的值是1， 所有右边的结果就是 -x.
综上所述，我们可以得到 斐波那契 数列的生成函数：



四、 根据高中知识，我们可以知道，多次表达式的分数形式可以转化为低次表示式的和的形式



进一步可以得到：



然后将结果带入公式，去除掉 R 和 S，可得：



五、 级数展开公式
根据大学级数公式，我们可知：



带入第四步中的公式可得：



于是，我们得到了 斐波那契 数列的通项公式为：



而 r 与 s又满足条件：



所以可以计算得出：



因为，我们最终可以得出 斐波那契 数列的通项公式为：



此时，我们使用C语言重新实现，代码如下：
int result2(int index) {
return (int)(((pow((1 + sqrt(5.0)) / 2, index) - pow((1 - sqrt(5.0)) / 2, index)) / sqrt(5.0)));
}
然后观察打印结果：



可以看出，计算结果一直，但是运行时间却快了六万多倍。。。

从这里，我们可以看出，在实现编程的时候，可以首先考虑利用数学方法优化程序设计或者计算！！！！