网络流建图的几点体会（给自己看的笔记，持续更新）

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网络流建图，实质是对实际问题的抽象。用一些图论中的理论去模拟实际问题，然后再把解出的答案转化为实际问题的答案。

限制通常体现在边权上，实际意义什么的可能体现在点上也可能体现在边上。

网络流适用问题一：多次方案的叠加问题，不同方案的选择互相排斥，适当建图把各方案表示在一个图里是关键。比如：

1.从某点到某点走最短路，有多少种走法（走过的边不能再走）。起点为源，终点为汇，所有可以成为最短路径一部分的边，其权置为一（因为只能被选一次，不同方案的选择互相排斥）。然后跑最大流即可。

2.给定二分图，求可构成完备匹配的不同方案数（选过的边不能再选）。见hdu3081，hdu3277。。自建源点和汇点，将二分图左右两部分，左边各点与源点相连，右边各点与汇点相连。接下来要通过限定边权来转化问题。从源点到左边各点的边权皆设为limit，从右边到汇点的各边权也设为limit。跑最大流，若最大流结果为n*limit，就说明至少可以构成limit种方案。

3.接上。技巧：若某点有多种类型的选择，那么可以通过拆点实现建模。如上hdu3277。每个女孩可以在K个不喜欢的男孩中进行选择。也就是说在这多次方案叠加最后的结果中，每个女孩所选的不喜欢的男生不能超过K个，这里考虑拆点，每个女孩拆成两个点，一个连喜欢的男生，一个连不喜欢的男生。然后限制边权，这两个点所能够获得的总流为limit，然后跑最大流即可。

网络流使用问题二：在限制条件下求最优解，将实际问题合理地转化为图论里的问题（边，点之类的）是关键，思路要活跃一些

这类问题感觉比较需要脑洞Orz，比如：

1.hdu4292：有F种食物 D种饮料 它们都有一定的数量 有N个人 每个人都有自己喜欢吃的食物和饮料 （每个人至少要一种食物和饮料） 只有能满足他的要求时他才会接服务 求最大能满足多少人。。这里自建超级源点与汇点，源点与食物相连，汇点与饮料相连，边权为其数量。每个人拆成两个点，边权为1，再分别与其喜爱的饮料与食物相连。跑最大流即可。这里将某人必须同时具有至少一个喜爱的食物与饮料转化为一条边，即实际问题转化为图论的东西。同类型的问题还有POJ3281.。。。（待补充~~）

2.关于拆点，也可用于某些限制条件的设置。hdu2732，通过对柱子拆点，边权设置为每个柱子能被跳多少次；hdu3338，将某行某列相交处某个数的大小表示为某行与某列的连边，然后行与源点相连，列与汇点相连（类比一下二分匹配里的行列匹配和奇偶匹配），跑最大流。

3.hdu3605.这其实更像个匹配问题。。n个人，m个星球。给出每个人能适应哪个星球以及每个星球能容纳多少人。求最多转移多少人。

源点与各人相连，权值皆为一，星球与汇点相连，权值为能容纳的人数。跑最大流。将把人转移到某星球上表示为人与星球的连边。

另外由于网络流比较费时。建图的时候，能优化最好优化。比如这题m比较小n比较大，那么很多人的选择事实上可以合并，最多1024组左右。。

4.hdu2883。一台烧烤机一次最多烤m块肉，n位顾客，第i位到达时间为si，离开时间为ei，点了ci块肉，每块烤时间为di，问能否满足所有人的要求。。

由于每个时间段里烤肉机都只能烤m块肉，所以把时间分段，看成点。把烤肉花的时间作为各边权。。用这样的思路建图。

5.hdu4289。给定一图，恐怖分子要从S城到D城，问警察最少封锁多少座城市就可以阻止恐怖分子。

以S为源点，D为汇点。每个城市拆点，边权为一。这就使所有经过该城的路径最多能流过的流为一，从而最大流的值就是最少要封锁的城数。

网络流建图的常见优化总结。

1.hdu3605.这其实更像个匹配问题。。n个人，m个星球。给出每个人能适应哪个星球以及每个星球能容纳多少人。求最多转移多少人。

源点与各人相连，权值皆为一，星球与汇点相连，权值为能容纳的人数。跑最大流。将把人转移到某星球上表示为人与星球的连边。

另外由于网络流比较费时。建图的时候，能优化最好优化。比如这题m比较小n比较大，那么很多人的选择事实上可以合并，最多1024组左右。。

2.hdu4280.。图好建，但据说比较卡时间。个人感觉ISAP（加gap优化）比dinic更快一些，模板很重要啊。。
3.hdu1087.有一些用电器，一些插座，好多好多适配器（和日常生活中的一样的概念）。给定他们具体的信息，问最多有多少用电器能充上电。自建源点汇点，源点与用电器类型相连，边权为一，插座类型与汇点相连，边权为一。比较头疼的就是由于适配器，不同类型也可以相互匹配，搞起来很麻烦。这时候我们可以直接在插座类型上连边，比如某适配器可以将A->B,那么就在A与B之间连一条边，边权为INF。自己考虑一下就明白了。这里就大大简化了建图操作。

几个特别的题。

1.网络流与线性规划24题之02：

太空飞行中，可以在飞船上做一些实验，每个实验都需要一些仪器。做实验会得到相应的报酬，每种仪器又要付出相应的成本。求净利润最大为多少？（做试验获得的总报酬减去配备仪器所需的总花费）。

这里实际上是求最大权闭合图问题。将源点与各实验相连，边权为报酬；各仪器与汇点相连，边权为花费。试验与仪器具有对应关系的就连边，边权为无穷大。跑最大流。最终答案就是所有试验的总报酬减去最大流的值。。具体的话这里有篇博客讲得挺详细http://www.cnblogs.com/wuyiqi/archive/2012/03/12/2391960.html

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