《树》之伸展树

本文介绍什么？
使用伸展树有什么样的效果；

伸展树的定义；

伸展树ADT具体实现过程的描述；

代码实现。

一、使用伸展树(splay tree)的效果：

使用伸展树时，对伸展树上任意一次操作的最坏运行时间为 O( N )；但是，它保证了连续M次操作花费的最多时间为O(M ㏒N)，从而可以推算出对伸展树的每一次操作的摊还时间为O( ㏒N)。

二、伸展树的定义:
对于一颗二查查找树进行操作时，每访问一个节点，该节点都通过旋转操作被放到根上。这样的一颗二查查找树称为伸展树。

三、伸展树ADT的描述:
1.伸展树的节点定义与二查查找树节点定义的方法一致，此处不再赘述；
2.比起二查查找树，伸展树ADT只是对了一个旋转操作。在这里的旋转，我们称之为展开(Splaying)。设节点X为访问的节点，我们通过对节点X进行一系列操作，将节点X移动到根节点。
3.节点X旋转的情况:
⑴节点X为根节点：什么都不做；
⑵节点X的父节点为根节点:

根节点的左子树=X的右子树；
X的右子树=根节点；
⑶节点X具有父节点（P）、祖父节点（G），此时有（两类）四种情况需要考虑:
ⅰ、( "一" 字形) P是G的左儿子，X是P的左儿子;
ⅱ、( "一" 字形)P是G的右儿子，X是P的右儿子;
ⅲ、( "之" 字形)P是G的左儿子，X是P的右儿子;
ⅳ、( "之" 字形)P是G的右儿子，X是P的左儿子;
4.节点的删除:
由于对节点X的每一次访问都需要将X移向根节点，所以懒惰删除在这里显得不太合适，在这里需要进行的直接删除。当进行删除操作时，首先需要访问节点X，节点X被移动到根节点，此时删除X花费的代价是比较小的。在删除节点X的时候，①访问X导致节点X被移向根节点，删除节点X并得到左、右两棵子树(TL、TR)；②在右子树TR上访问最小节点Y(该节点一定没有左儿子)，将Y移动到右子树的根节点；③令Y的左儿子为左子树TL。

四、核心代码实现：
1.伸展树的伸展实现
ⅰ、( "一" 字形) P是G的左儿子，X是P的左儿子;
操作:
G的左儿子=P的右儿子;
P的右儿子=G；
P的左儿子=X的右儿子；
X的右儿子=P；

//一字形（左左）

static Position ZigzigLL(Position g)
{
Position p,x;
p=g->left;x=p->left;

g->left=p->right;
p->right=g;
p->left=x->right;
x->right=p;

return x;
}

ⅱ、( "一" 字形)P是G的右儿子，X是P的右儿子;

操作:
G的右儿子=P的左儿子；
P的左儿子=G；
P的右儿子=X的左儿子；
X的左儿子=P；

//一字形（右右）

static Position ZigzigRR(Position g)
{
Position p,x;
p=g->right;x=p->right;

g->right=p->left;
p->left=g;
p->right=x->left;
x->left=p;

return x;
}

ⅲ、( "之" 字形)P是G的左儿子，X是P的右儿子;
操作:
G的左儿子=X的右儿子；
X的右儿子=G;
P的右儿子=X的左儿子；
X的左儿子=P；

//一字形（左右）

static Position ZigzigLR(Position g)
{
Position p,x;
p=g->left;x=p->right;

g->left=x->right;
x->right=g;
p->right=x->left;
x->left=p;

return x;
}

ⅳ、( "之" 字形)P是G的右儿子，X是P的左儿子;

操作:
G的右儿子=X的左儿子；
X的左儿子=G；
P的左儿子=X的右儿子；
X的右儿子=P；

//一字形（右左）

static Position ZigzigRL(Position g)
{
Position p,x;
p=g->right;x=p->left;

g->right=x->left;
x->left=g;
p->left=x->right;
x->right=p;

return x;
}

3.伸展树的删除操作实现

//删除节点
void Delete(const ElementType x,const sTree st)
{
if(NULL==st) printf("该树为空树\n");
else{
position temp=Find(x,st);
Position root=FindMin(temp->right);
root->left=temp->left;

free(temp);
temp=NULL;
return ;
}
}