POJ 1006 Java：中国剩余定理

题目描述：

人生来就有三个生理周期，分别为体力、感情和智力周期，它们的周期长度为23天、28天和33天。每一个周期中有一天是高峰。在高峰这天，人会在相应的方面表现出色。例如，智力周期的高峰，人会思维敏捷，精力容易高度集中。因为三个周期的周长不同，所以通常三个周期的高峰不会落在同一天。对于每个人，我们想知道何时三个高峰落在同一天。对于每个周期，我们会给出从当前年份的第一天开始，到出现高峰的天数（不一定是第一次高峰出现的时间）。你的任务是给定一个从当年第一天开始数的天数，输出从给定时间开始（不包括给定时间）下一次三个高峰落在同一天的时间（距给定时间的天数）。例如：给定时间为10，下次出现三个高峰同天的时间是12，则输出2（注意这里不是3）。

输入：

输入四个整数：p, e, i和d。 p, e, i分别表示体力、情感和智力高峰出现的时间（时间从当年的第一天开始计算）。d 是给定的时间，可能小于p, e, 或 i。 所有给定时间是非负的并且小于365, 所求的时间小于21252。

当p = e = i = d = -1时，输入数据结束。

分析：

有题可得出：S = p + T1*N1 = e + T2*N2 = i + T3*k3，其中S为出现三次高峰叠加的时间，N1，N2，N3分别为体力、感情和智力的周期。这是一个典型的中国剩余定理。

AC代码：

/*
* 人自出生起就有体力，情感和智力三个生理周期，分别为23，28和33天。
* 一个周期内有一天为峰值，在这一天，人在对应的方面（体力，情感或智力）表现最好。
* 通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日期，分别对应于体力，情感，智力出现峰值的日期.
* 然后再给出一个起始日期，要求从这一天开始，算出最少再过多少天后三个峰值同时出现。
*/
import java.util.*;
public class POJ1006 {

public static void main(String[] args) {
Scanner s = new Scanner(System.in);
int a, b, c;//分别代表28*33*k1+,23*33*k2,23*28*k3
int p, i, e, d;
int k, days, count = 1;
<span style="white-space:pre">		</span>//分别求出三个符合条件的公倍数
for(k=1; (28*33*k)%23 != 1; k++);
a = 28*33*k;
for(k=1; (23*33*k)%28 != 1; k++);
b = 23*33*k;
for(k=1; (23*28*k)%33 != 1; k++);
c = 23*28*k;
while(s.hasNext()){
p = s.nextInt();
i = s.nextInt();
e = s.nextInt();
d = s.nextInt();

if(p==-1 && i==-1 && e==-1 && d==-1)
break;

days = (a*p+b*i+c*e)%21252 - d;
if(days <= 0)
days = days + 21252;
System.out.println("Case " + count + ": the next triple peak occurs in " + days +" days.");
count++;
s.close();
}
}

}

中国剩余定理介绍（引用自http://www.cnblogs.com/walker01/archive/2010/01/23/1654880.html）

在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。具体解法分三步：

1、找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。

2、用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，用70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加（15*2+21*3+70*2）得到和233。

3、用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。

就这么简单。我们在感叹神奇的同时不禁想知道古人是如何想到这个方法的，有什么基本的数学依据吗？


中国剩余定理分析

我们将“孙子问题”拆分成几个简单的小问题，从零开始，试图揣测古人是如何推导出这个解法的。
首先，我们假设n1是满足除以3余2的一个数，比如2，5，8等等，也就是满足3*k+2（k>=0）的一个任意数。同样，我们假设n2是满足除以5余3的一个数，n3是满足除以7余2的一个数。

有了前面的假设，我们先从n1这个角度出发，已知n1满足除以3余2，能不能使得 n1+n2 的和仍然满足除以3余2？进而使得n1+n2+n3的和仍然满足除以3余2？

这就牵涉到一个最基本数学定理，如果有a%b=c,则有(a+kb)%b=c(k为非零整数)，换句话说，如果一个除法运算的余数为c，那么被除数与k倍的除数相加（或相减）的和（差）再与除数相除，余数不变。这个是很好证明的。

以此定理为依据，如果n2是3的倍数，n1+n2就依然满足除以3余2。同理，如果n3也是3的倍数，那么n1+n2+n3的和就满足除以3余2。这是从n1的角度考虑的，再从n2，n3的角度出发，我们可推导出以下三点：

1、为使n1+n2+n3的和满足除以3余2，n2和n3必须是3的倍数。

2、为使n1+n2+n3的和满足除以5余3，n1和n3必须是5的倍数。

3、为使n1+n2+n3的和满足除以7余2，n1和n2必须是7的倍数。

因此，为使n1+n2+n3的和作为“孙子问题”的一个最终解，需满足：

1、n1除以3余2，且是5和7的公倍数。

2、n2除以5余3，且是3和7的公倍数。

3、n3除以7余2，且是3和5的公倍数。

所以，孙子问题解法的本质是从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数n1，从3和7的公倍数中找一个除以5余3的数n2，从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数n3，再将三个数相加得到解。在求n1，n2，n3时又用了一个小技巧，以n1为例，并非从5和7的公倍数中直接找一个除以3余2的数，而是先找一个除以3余1的数，再乘以2。

这里又有一个数学公式，如果a%b=c，那么（a*k）%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc（k>0）,也就是说，如果一个除法的余数为c，那么被除数的k倍与除数相除的余数为kc。展开式中已证明。

最后，我们还要清楚一点，n1+n2+n3只是问题的一个解，并不是最小的解。如何得到最小解？我们只需要从中最大限度的减掉掉3，5，7的公倍数105即可。道理就是前面讲过的定理“如果a%b=c,则有(a-kb)%b=c”。所以（n1+n2+n3）%105就是最终的最小解。