深度学习与计算机视觉系列(8)_神经网络训练与注意点

作者：寒小阳&&龙心尘

时间：2016年1月。

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1.训练

在前一节当中我们讨论了神经网络静态的部分：包括神经网络结构、神经元类型、数据部分、损失函数部分等。这个部分我们集中讲讲动态的部分，主要是训练的事情，集中在实际工程实践训练过程中要注意的一些点，如何找到最合适的参数。

1.1 关于梯度检验

之前的博文我们提到过，我们需要比对数值梯度和解析法求得的梯度，实际工程中这个过程非常容易出错，下面提一些小技巧和注意点：

使用中心化公式，这一点我们之前也说过，使用如下的数值梯度计算公式：

df(x)dx=f(x+h)−f(x−h)2h(use instead)\frac{df(x)}{dx} = \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h} \hspace{0.1in} \text{(use instead)}

而不是

df(x)dx=f(x+h)−f(x)h(bad, do not use)\frac{df(x)}{dx} = \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \hspace{0.1in} \text{(bad, do not use)}

即使看似上面的形式有着2倍的计算量，但是如果你有兴趣用把公式中的f(x+h)f(x+h)和f(x−h)f(x-h)展开的话，你会发现上面公式出错率大概是O(h2)O(h^2)级别的，而下面公式则是O(h)O(h)，注意到

h

是很小的数，因此显然上面的公式要精准得多。

使用相对误差做比较，这是实际工程中需要提到的另外一点，在我们得到数值梯度f′nf_n'和解析梯度f′af_a'之后，我们如何去比较两者？第一反应是作差|f′a−f′n||f_a'-f_n'|对吧，或者顶多求一个平方。但是用绝对值是不可靠的，假如两个梯度的绝对值都在1.0左右，那么我们可以认为1e-4这样一个差值是非常小的，但是如果两个梯度本身就是1e-4级别的，那这个差值就相当大了。所以我们考虑相对误差：

∣f′a−f′n∣max(∣f′a∣,∣f′n∣)\frac{\mid f'_a - f'_n \mid}{\max(\mid f'_a \mid, \mid f'_n \mid)}

加max项的原因很简单：整体形式变得简单和对称。再提个小醒，别忘了避开分母中两项都为0的情况。OK，对于相对误差而言：

相对误差>1e-2意味着你的实现肯定是有问题的

1e-2>相对误差>1e-4，你会有点担心

1e-4>相对误差，基本是OK的，但是要注意极端情况(使用tanh或者softmax时候出现kinks)那还是太大

1e-7>相对误差，放心大胆使用

哦，对对，还有一点，随着神经网络层数增多，相对误差是会增大的。这意味着，对于10层的神经网络，其实相对误差也许在1e-2级别就已经是可以正常使用的了。

使用双精度浮点数。如果你使用单精度浮点数计算，那你的实现可能一点问题都没有，但是相对误差却很大。实际工程中出现过，从单精度切到双精度，相对误差立马从1e-2降到1e-8的情况。

要留意浮点数的范围。一篇很好的文章是What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic。我们得保证计算时，所有的数都在浮点数的可计算范围内，太小的值(比如h)会带来计算上的问题。

Kinks。它指的是一种会导致数值梯度和解析梯度不一致的情况。会出现在使用ReLU或者类似的神经单元上时，对于很小的负数，比如x=-1e-6，因为x<0，所以解析梯度是绝对为0的，但是对于数值梯度而言，加入你计算f(x+h)f(x+h)，取的h>1e-6，那就跳到大于0的部分了，这样数值梯度就一定和解析梯度不一样了。而且这个并不是极端情况哦，对于一个像CIFAR-10这样级别的数据集，因为有50000个样本，会有450000个max(0,x)max(0,x)，会出现很多的kinks。

不过我们可以监控maxmax里的2项，比较大的那项如果存在跃过0的情况，那就要注意了。

设定步长h要小心。h肯定不能特别大，这个大家都知道对吧。但我并不是说h要设定的非常小，其实h设定的非常小也会有问题，因为h太小程序可能会有精度问题。很有意思的是，有时候在实际情况中h如果从非常小调为1e-4或者1e-6反倒会突然计算变得正常。

不要让正则化项盖过数据项。有时候会出现这个问题，因为损失函数是数据损失部分与正则化部分的求和。因此要特别注意正则化部分，你可以想象下，如果它盖过了数据部分，那么主要的梯度来源于正则化项，那这样根本就做不到正常的梯度回传和参数迭代更新。所以即使在检查数据部分的实现是否正确，也得先关闭正则化部分(系数λ\lambda设为0)，再检查。

注意dropout和其他参数。在检查数值梯度和解析梯度的时候，如果不把dropout和其他参数都『关掉』的话，两者之间是一定会有很大差值的。不过『关掉』它们的负面影响是，没有办法检查这些部分的梯度是否正确。所以，一个合理的方式是，在计算f(x+h)f(x+h)和f(x−h)f(x-h)之前，都随机初始化

x

，然后再计算解析梯度。

关于只检查几个维度。在实际情况中，梯度可能有上百万维参数。因此每个维度都检查一遍就不太现实了，一般都是只检查一些维度，然后假定其他的维度也都正确。要小心一点：要保证这些维度的每个参数都检查对比过了。

1.2 训练前的检查工作

在开始训练之前，我们还得做一些检查，来确保不会运行了好一阵子，才发现计算代价这么大的训练其实并不正确。

在初始化之后看一眼loss。其实我们在用很小的随机数初始化神经网络后，第一遍计算loss可以做一次检查(当然要记得把正则化系数设为0)。以CIFAR-10为例，如果使用Softmax分类器，我们预测应该可以拿到值为2.302左右的初始loss(因为10个类别，初始概率应该都未0.1，Softmax损失是-log(正确类别的概率):-ln(0.1)=2.302)。

加回正则项，接着我们把正则化系数设为正常的小值，这时候再算损失/loss，应该比刚才要大一些。

试着去拟合一个小的数据集。最后一步，也是很重要的一步，在对大数据集做训练之前，我们可以先训练一个小的数据集(比如20张图片)，然后看看你的神经网络能够做到0损失/loss(当然，是指的正则化系数为0的情况下)，因为如果神经网络实现是正确的，在无正则化项的情况下，完全能够过拟合这一小部分的数据。

1.3 训练过程中的监控

开始训练之后，我们可以通过监控一些指标来了解训练的状态。我们还记得有一些参数是我们认为敲定的，比如学习率，比如正则化系数。

损失/loss随每轮完整迭代后的变化

下面这幅图表明了不同的学习率下，我们每轮完整迭代(这里的一轮完整迭代指的是所有的样本都被过了一遍，因为随机梯度下降中batch size的大小设定可能不同，因此我们不选每次mini-batch迭代为周期)过后的loss应该呈现的变化状况：








合适的学习率可以保证每轮完整训练之后，loss都减小，且能在一段时间后降到一个较小的程度。太小的学习率下loss减小的速度很慢，如果太激进，设置太高的学习率，开始的loss减小速度非常可观，可是到了某个程度之后就不再下降了，在离最低点一段距离的地方反复，无法下降了。下图是实际训练CIFAR-10的时候，loss的变化情况：








大家可能会注意到上图的曲线有一些上下跳动，不稳定，这和随机梯度下降时候设定的batch size有关系。batch size非常小的情况下，会出现很大程度的不稳定，如果batch size设定大一些，会相对稳定一点。

训练集/验证集上的准确度

然后我们需要跟踪一下训练集和验证集上的准确度状况，以判断分类器所处的状态(过拟合程度如何)：








随着时间推进，训练集和验证集上的准确度都会上升，如果训练集上的准确度到达一定程度后，两者之间的差值比较大，那就要注意一下，可能是过拟合现象，如果差值不大，那说明模型状况良好。

权重：权重更新部分 的比例

最后一个需要留意的量是权重更新幅度和当前权重幅度的壁纸。注意哦，是权重更新部分，不一定是计算出来的梯度哦(比如训练用的vanilla sgd，那这个值就是

梯度

和

学习率

的乘积)。最好对于每组参数都独立地检查这个比例。我们没法下定论，但是在之前的工程实践中，一个合适的比例大概是1e-3。如果你得到的比例比这个值小很多，那么说明学习率设定太低了，反之则是设定太高了。

每一层的 激励/梯度值 分布

如果初始化不正确，那整个训练过程会越来越慢，甚至直接停掉。不过我们可以很容易发现这个问题。体现最明显的数据是每一层的激励和梯度的方差(波动状况)。举个例子说，如果初始化不正确，很有可能从前到后逐层的激励方差变化是如下的状况：

[code]# 我们用标准差为0.01均值为0的高斯分布值来初始化权重(这不合理)
Layer 0: Variance: 1.005315e+00
Layer 1: Variance: 3.123429e-04
Layer 2: Variance: 1.159213e-06
Layer 3: Variance: 5.467721e-10
Layer 4: Variance: 2.757210e-13
Layer 5: Variance: 3.316570e-16
Layer 6: Variance: 3.123025e-19
Layer 7: Variance: 6.199031e-22
Layer 8: Variance: 6.623673e-25

大家看一眼上述的数值，就会发现，从前往后，激励值波动逐层降得非常厉害，这也就意味着反向算法中，计算回传梯度的时候，梯度都要接近0了，因此参数的迭代更新几乎就要衰减没了，显然不太靠谱。我们按照上一讲中提到的方式正确初始化权重，再逐层看激励/梯度值的方差，会发现它们的方差衰减没那么厉害，近似在一个级别：

[code]# 重新正确设定权重:
Layer 0: Variance: 1.002860e+00
Layer 1: Variance: 7.015103e-01
Layer 2: Variance: 6.048625e-01
Layer 3: Variance: 8.517882e-01
Layer 4: Variance: 6.362898e-01
Layer 5: Variance: 4.329555e-01
Layer 6: Variance: 3.539950e-01
Layer 7: Variance: 3.809120e-01
Layer 8: Variance: 2.497737e-01

再看逐层的激励波动情况，你会发现即使到最后一层，网络也还是『活跃』的，意味着反向传播中回传的梯度值也是够的，神经网络是一个积极learning的状态。

首层的可视化

最后再提一句，如果神经网络是用在图像相关的问题上，那么把首层的特征和数据画出来(可视化)可以帮助我们了解训练是否正常：








上图的左右是一个正常和不正常情况下首层特征的可视化对比。左边的图中特征噪点较多，图像很『浑浊』，预示着可能训练处于『病态』过程：也许是学习率设定不正常，或者正则化系数设定太低了，或者是别的原因，可能神经网络不会收敛。右边的图中，特征很平滑和干净，同时相互间的区分度较大，这表明训练过程比较正常。

1.4 关于参数更新部分的注意点

当我们确信解析梯度实现正确后，那就该在后向传播算法中使用它更新权重参数了。就单参数更新这个部分，也是有讲究的：

说起来，神经网络的最优化这个子话题在深度学习研究领域还真是很热。下面提一下大神们的论文中提到的方法，很多在实际应用中还真是很有效也很常用。

1.4.1 随机梯度下降与参数更新

vanilla update

这是最简单的参数更新方式，拿到梯度之后，乘以设定的学习率，用现有的权重减去这个部分，得到新的权重参数(因为梯度表示变化率最大的增大方向，减去这个值之后，损失函数值才会下降)。记

x

为权重参数向量x，而梯度为

dx

，然后我们设定学习率为

learning_rate

，则最简单的参数更新大家都知道：

[code]# Vanilla update
x += - learning_rate * dx

当然

learning_rate

是我们自己敲定的一个超变量值(在该更新方法中是全程不变的)，而且数学上可以保证，当学习率足够低的时候，经这个过程迭代后，损失函数不会增加。

Momentum update

这是上面参数更新方法的一种小小的优化，通常说来，在深层次的神经网络中，收敛效率更高一些(速度更快)。这种参数更新方式源于物理学角度的优化

[code]# 物理动量角度启发的参数更新
v = mu * v - learning_rate * dx # 合入一部分附加速度
x += v # 更新参数

这里

v

是初始化为0的一个值，

mu

是我们敲定的另外一个超变量(最常见的设定值为0.9，物理含义和摩擦力系数相关)，一个比较粗糙的理解是，(随机)梯度下降可以看做从山上下山到山底的过程，这种方式，相当于在下山的过程中，加上了一定的摩擦阻力，消耗掉一小部分动力系统的能量，这样会比较高效地在山底停住，而不是持续震荡。对了，其实我们也可以用交叉验证来选择最合适的

mu

值，一般我们会从[0.5, 0.9, 0.95, 0.99]里面选出最合适的。

Nesterov Momentum

这是momentum update的一个不同的版本，最近也用得很火。咳咳，据称，这种参数更新方法，有更好的凸函数和凸优化理论基础，而实际中的收敛效果也略优于momentum update。

此处的深层次原理，博主表示智商有点捉急…有兴趣的同学可以看看以下的2个材料：

Yoshua Bengio大神的Advances in optimizing Recurrent Networks3.5节

Ilya Sutskever’s thesis7.2节

它的思想对应着如下的代码：

[code]x_ahead = x + mu * v
# 考虑到这个时候的x已经有一些变化了
v = mu * v - learning_rate * dx_ahead
x += v

工程上更实用的一个版本是：

[code]v_prev = v # 当前状态先存储起来
v = mu * v - learning_rate * dx # 依旧按照Momentum update的方式更新
x += -mu * v_prev + (1 + mu) * v # 新的更新方式

1.4.2 衰减学习率

在实际训练过程中，随着训练过程推进，逐渐衰减学习率是很有必要的。我们继续回到下山的场景中，刚下山的时候，可能离最低点很远，那我步子迈大一点也没什么关系，可是快到山脚了，我还激进地大步飞奔，一不小心可能就迈过去了。所以还不如随着下山过程推进，逐步减缓一点点步伐。不过这个『火候』确实要好好把握，衰减太慢的话，最低段震荡的情况依旧；衰减太快的话，整个系统下降的『动力』衰减太快，很快就下降不动了。下面提一些常见的学习率衰减方式：

步伐衰减：这是很常见的一个衰减模式，每过一轮完整的训练周期(所有的图片都过了一遍)之后，学习率下降一些。比如比较常见的一个衰减率可能是每20轮完整训练周期，下降10%。不过最合适的值还真是依问题不同有变化。如果你在训练过程中，发现交叉验证集上呈现很高的错误率，还一直不下降，你可能就可以考虑考虑调整一下(衰减)学习率了。

指数级别衰减：数学形式为α=α0e−kt\alpha = \alpha_0 e^{-k t}，其中α0,k\alpha_0, k是需要自己敲定的超参数，tt是迭代轮数。

1/t衰减：有着数学形式为α=α0/(1+kt)\alpha = \alpha_0 / (1 + k t )的衰减模式，其中α0,k\alpha_0, k是需要自己敲定的超参数，tt是迭代轮数。

实际工程实践中，大家还是更倾向于使用步伐衰减，因为它包含的超参数少一些，计算简单一些，可解释性稍微高一点。

1.4.3 二次迭代方法

最优化问题里还有一个非常有名的牛顿法，它按照如下的方式进行迭代更新参数：

x←x−[Hf(x)]−1∇f(x)x \leftarrow x - [H f(x)]^{-1} \nabla f(x)

这里的Hf(x)H f(x)是Hessian矩阵，是函数的二阶偏微分。而∇f(x)\nabla f(x)和梯度下降里看到的一样，是一个梯度向量。直观理解是Hessian矩阵描绘出了损失函数的曲度，因此能让我们更高效地迭代和靠近最低点：乘以Hessian矩阵进行参数迭代会让在曲度较缓的地方，会用更激进的步长更新参数，而在曲度很陡的地方，步伐会放缓一些。因此相对一阶的更新算法，在这点上它还是有很足的优势的。

比较尴尬的是，实际深度学习过程中，直接使用二次迭代的方法并不是很实用。原因是直接计算Hessian矩阵是一个非常耗时耗资源的过程。举个例子说，一个一百万参数的神经网络的Hessian矩阵维度为[1000000*1000000]，算下来得占掉3725G的内存。当然，我们有L-BFGS这种近似Hessian矩阵的算法，可以解决内存问题。但是L-BFGS一般在全部数据集上计算，而不像我们用的mini-batch SGD一样在小batch小batch上迭代。现在有很多人在努力研究这个问题，试图让L-BFGS也能以mini-batch的方式稳定迭代更新。但就目前而言，大规模数据上的深度学习很少用到L-BFGS或者类似的二次迭代方法，倒是随机梯度下降这种简单的算法被广泛地使用着。

感兴趣的同学可以参考以下文献：

On Optimization Methods for Deep Learning：2011年的论文比较随机梯度下降和L-BFGS

Large Scale Distributed Deep Networks：google brain组的论文，比较随机梯度下降和L-BFGS在大规模分布式优化上的差别。

SFO算法试图结合随机梯度下降和L-BFGS的优势。

1.4.4 逐参更新学习率

到目前为止大家看到的学习率更新方式，都是全局使用同样的学习率。调整学习率是一件很费时同时也容易出错的事情，因此大家一直希望有一种学习率自更新的方式，甚至可以细化到逐参数更新。现在确实有一些这种方法，其中大多数还需要额外的超参数设定，优势是在大多数超参数设定下，效果都比使用写死的学习率要好。下面稍微提一下常见的自适应方法(原谅博主底子不够，没办法深入数学细节讲解)：

Adagrad是Duchi等在论文Adaptive Subgradient Methods for Online Learning and Stochastic Optimization中提出的自适应学习率算法。简单代码实现如下：

[code]# 假定梯度为dx，参数向量为x
cache += dx**2
x += - learning_rate * dx / np.sqrt(cache + 1e-8)

其中变量

cache

有着和梯度一样的维度，然后我们用这个变量持续累加梯度平方。之后这个值被用作参数更新步骤中的归一化。这种方法的好处是，对于高梯度的权重，它们的有效学习率被降低了；而小梯度的权重迭代过程中学习率提升了。而分母开根号这一步非常重要，不开根号的效果远差于开根号的情况。平滑参数

1e-8

避免了除以0的情况。

RMSprop是一种非常有效，然后好像还没有被公开发布的自适应学习率更新方法。有意思的是，现在使用这个方法的人，都引用的大神Geoff Hinton的coursera课程第6节的slide第29页。RMSProp方法对Adagrad算法做了一个简单的优化，以减缓它的迭代强度，它开方的部分cache做了一个平滑处理，大致的示意代码如下：

[code]cache = decay_rate * cache + (1 - decay_rate) * dx**2
x += - learning_rate * dx / np.sqrt(cache + 1e-8)

这里的

decay_rate

是一个手动敲定的超参数，我们通常会在[0.9, 0.99, 0.999]中取值。需要特别注意的是，

x+=

这个累加的部分和Adagrad是完全一样的，但是

cache

本身是迭代变化的。

另外的方法还有：

Matthew Zeiler提出的Adadelta

Adam: A Method for Stochastic Optimization

Unit Tests for Stochastic Optimization

下图是上述提到的多种参数更新方法下，损失函数最优化的示意图：

1.5 超参数的设定与优化

神经网络的训练过程中，不可避免地要和很多超参数打交道，这是我们需要手动设定的，大致包括：

初始学习率

学习率衰减程度

正则化系数/强度(包括l2正则化强度，dropout比例)

对于大的深层次神经网络而言，我们需要很多的时间去训练。因此在此之前我们花一些时间去做超参数搜索，以确定最佳设定是非常有必要的。最直接的方式就是在框架实现的过程中，设计一个会持续变换超参数实施优化，并记录每个超参数下每一轮完整训练迭代下的验证集状态和效果。

未完待续…