数据结构之平衡二叉树的平衡因子BF 的计算

在书上看了平衡二叉树的代码后，发现前人的智慧真是无限。但是因为一次性给出的最完美的代码让人有时候看不太懂...

后来经过仔细推敲，才慢慢发现了其中的奥秘。一开始并不知道关于平衡二叉树的平衡因子BF是怎么修改的，后来才发现关于平衡二叉树的最重要的一句话：在构建平衡二叉树的过程中，每当插入一个结点时，先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，若是，则找出最小不平衡子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整关系。

这句话意味着：只要破坏了平衡性，就马上修改使得二叉树重新平衡，意思就是只要修改了最小不平衡树就可以使得整个二叉树重新平衡.



下面借用书上的代码进行解释说明，说明在代码后面

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1. #include "stdio.h"
2. #include "stdlib.h"
3. #include "io.h"
4. #include "math.h"
5. #include "time.h"
6.
7. #define OK 1
8. #define ERROR 0
9. #define TRUE 1
10. #define FALSE 0
11. #define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */
12.
13. typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
14.
15.
16. /* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
17. typedef  struct BiTNode /* 结点结构 */
18. {
19.     int data;   /* 结点数据 */
20.     int bf; /*  结点的平衡因子 */
21.     struct BiTNode *lchild, *rchild;    /* 左右孩子指针 */
22. } BiTNode, *BiTree;
23.
24.
25. /* 对以p为根的二叉排序树作右旋处理， */
26. /* 处理之后p指向新的树根结点，即旋转处理之前的左子树的根结点 */
27. void R_Rotate(BiTree *P)
28. {
29.     BiTree L;
30.     L=(*P)->lchild; /*  L指向P的左子树根结点 */
31.     (*P)->lchild=L->rchild; /*  L的右子树挂接为P的左子树 */
32.     L->rchild=(*P);
33.     *P=L; /*  P指向新的根结点 */
34. }
35.
36. /* 对以P为根的二叉排序树作左旋处理， */
37. /* 处理之后P指向新的树根结点，即旋转处理之前的右子树的根结点0  */
38. void L_Rotate(BiTree *P)
39. {
40.     BiTree R;
41.     R=(*P)->rchild; /*  R指向P的右子树根结点 */
42.     (*P)->rchild=R->lchild; /* R的左子树挂接为P的右子树 */
43.     R->lchild=(*P);
44.     *P=R; /*  P指向新的根结点 */
45. }
46.
47. #define LH +1 /*  左高 */
48. #define EH 0  /*  等高 */
49. #define RH -1 /*  右高 */
50.
51. /*  对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理 */
52. /*  本算法结束时，指针T指向新的根结点 */
53. void LeftBalance(BiTree *T)
54. {
55.     BiTree L,Lr;
56.     L=(*T)->lchild; /*  L指向T的左子树根结点 */
57.     switch(L->bf)
58.     { /*  检查T的左子树的平衡度，并作相应平衡处理 */
59.          case LH: /*  新结点插入在T的左孩子的左子树上，要作单右旋处理 */
60.             (*T)->bf=L->bf=EH;
61.             R_Rotate(T);
62.             break;
63.          case RH: /*  新结点插入在T的左孩子的右子树上，要作双旋处理 */
64.             Lr=L->rchild; /*  Lr指向T的左孩子的右子树根 */
65.             switch(Lr->bf)
66.             { /*  修改T及其左孩子的平衡因子 */
67.                 case LH: (*T)->bf=RH;
68.                          L->bf=EH;
69.                          break;
70.                 case EH: (*T)->bf=L->bf=EH;
71.                          break;
72.                 case RH: (*T)->bf=EH;
73.                          L->bf=LH;
74.                          break;
75.             }
76.             Lr->bf=EH;
77.             L_Rotate(&(*T)->lchild); /*  对T的左子树作左旋平衡处理 */
78.             R_Rotate(T); /*  对T作右旋平衡处理 */
79.     }
80. }
81.
82. /*  对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理， */
83. /*  本算法结束时，指针T指向新的根结点 */
84. void RightBalance(BiTree *T)
85. {
86.     BiTree R,Rl;
87.     R=(*T)->rchild; /*  R指向T的右子树根结点 */
88.     switch(R->bf)
89.     { /*  检查T的右子树的平衡度，并作相应平衡处理 */
90.      case RH: /*  新结点插入在T的右孩子的右子树上，要作单左旋处理 */
91.               (*T)->bf=R->bf=EH;
92.               L_Rotate(T);
93.               break;
94.      case LH: /*  新结点插入在T的右孩子的左子树上，要作双旋处理 */
95.               Rl=R->lchild; /*  Rl指向T的右孩子的左子树根 */
96.               switch(Rl->bf)
97.               { /*  修改T及其右孩子的平衡因子 */
98.                 case RH: (*T)->bf=LH;
99.                          R->bf=EH;
100.                          break;
101.                 case EH: (*T)->bf=R->bf=EH;
102.                          break;
103.                 case LH: (*T)->bf=EH;
104.                          R->bf=RH;
105.                          break;
106.               }
107.               Rl->bf=EH;
108.               R_Rotate(&(*T)->rchild); /*  对T的右子树作右旋平衡处理 */
109.               L_Rotate(T); /*  对T作左旋平衡处理 */
110.     }
111. }
112.
113. /*  若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，则插入一个 */
114. /*  数据元素为e的新结点，并返回1，否则返回0。若因插入而使二叉排序树 */
115. /*  失去平衡，则作平衡旋转处理，布尔变量taller反映T长高与否。 */
116. Status InsertAVL(BiTree *T,int e,Status *taller)
117. {
118.     if(!*T)
119.     { /*  插入新结点，树“长高”，置taller为TRUE */
120.          *T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
121.          (*T)->data=e; (*T)->lchild=(*T)->rchild=NULL; (*T)->bf=EH;
122.          *taller=TRUE;
123.     }
124.     else
125.     {
126.         if (e==(*T)->data)
127.         { /*  树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入 */
128.             *taller=FALSE; return FALSE;
129.         }
130.         if (e<(*T)->data)
131.         { /*  应继续在T的左子树中进行搜索 */
132.             if(!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller)) /*  未插入 */
133.                 return FALSE;
134.             if(*taller) /*   已插入到T的左子树中且左子树“长高” */
135.                 switch((*T)->bf) /*  检查T的平衡度 */
136.                 {
137.                     case LH: /*  原本左子树比右子树高，需要作左平衡处理 */
138.                             LeftBalance(T); *taller=FALSE; break;
139.                     case EH: /*  原本左、右子树等高，现因左子树增高而使树增高 */
140.                             (*T)->bf=LH; *taller=TRUE; break;
141.                     case RH: /*  原本右子树比左子树高，现左、右子树等高 */
142.                             (*T)->bf=EH; *taller=FALSE; break;
143.                 }
144.         }
145.         else
146.         { /*  应继续在T的右子树中进行搜索 */
147.             if(!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller)) /*  未插入 */
148.                 return FALSE;
149.             if(*taller) /*  已插入到T的右子树且右子树“长高” */
150.                 switch((*T)->bf) /*  检查T的平衡度 */
151.                 {
152.                     case LH: /*  原本左子树比右子树高，现左、右子树等高 */
153.                             (*T)->bf=EH; *taller=FALSE;  break;
154.                     case EH: /*  原本左、右子树等高，现因右子树增高而使树增高  */
155.                             (*T)->bf=RH; *taller=TRUE; break;
156.                     case RH: /*  原本右子树比左子树高，需要作右平衡处理 */
157.                             RightBalance(T); *taller=FALSE; break;
158.                 }
159.         }
160.     }
161.     return TRUE;
162. }
163.
164. int main(void)
165. {
166.     int i;
167.     int a[10]={3,2,1,4,5,6,7,10,9,8};
168.     BiTree T=NULL;
169.     Status taller;
170.     for(i=0;i<10;i++)
171.     {
172.         InsertAVL(&T,a[i],&taller);
173.     }
174.     printf("本样例建议断点跟踪查看平衡二叉树结构");
175.     return 0;
176. }

1.关于insertAVL方法，需要说明的是，它用的是递归的思想，一层一层从下往父类修改平衡因子，而不用计算每个结点的BF，仅仅是根据左子树与右子树的高度差。因为是只要一破坏了平衡就修改，所以平衡因子的数只能是 -2、-1、0、1、2这几个数的取值。所以只要通过插入前的高度差与插入后的位置（左子树还是右子树）就可以确定现在的平衡因子。如果破坏了平衡性，就调用**Balance函数，调整平衡，并置taller为false，因为已经调整了平衡，高度并未发生改变，所以在这个结点以上的所有父亲都不用修改其平衡因子。

2.关于Balance方法，以leftBalance为例进行说明

①首先，之所以调用leftBalance是因为在插入前左子树的深度就比右子树的深度大一，现在插入的位置又是在左子树，所以左子树的深度比右子树的深度大于2，也就是最小不平衡树的顶点的平衡因子为2

②因为插入的是最小不平衡树的顶点T的左子树上L，所以需要比较顶点T 与 其左子树L 的平衡因子的符号，如果一致，就做简单的右旋转；如果不一致就先对其左子树做左旋转，再对最小不平衡树T做右旋转。——也就是说当左子树 L 的平衡因子为1时（LH）就进行简单的右旋转，为-1（RH）时就先对子树L做左旋转再对最小不平衡树T做右旋转

③关于先对左子树做左旋转，再对最小不平衡树做右旋转的平衡因子的改变。因为涉及对做子树L的左旋转，所以L的右子树Lr会受到影响,所以会根据Lr的平衡因子的不同而会有不同的改变

a.当Lr 的平衡因子为LH(相当于1)时，T的平衡因子变为-1，L的平衡因子变为0







b..当Lr的平衡因子为EH(相当于0）时，T的平衡因子变为0，L的平衡因子变为0










c..当Lr的平衡因子RH(相当于-1)时，T的平衡因子变为0，L的平衡因子变为1












可能会想：这只是特殊情况，其实并不是。因为每次旋转，受到影响的只有那么几个点，其他点的位置会改变，可是是以整体的方式变动，所以其他点的平衡因子并不会改变。rightBalance与leftBalance形成对称，所以就不画图啦