b树的实现（c++）
2015-12-08 17:39
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B树的定义
假设B树的度为t（t>=2），则B树满足如下要求：（参考算法导论）
（1） 每个非根节点至少包含t-1个关键字，t个指向子节点的指针；至多包含2t-1个关键字，2t个指向子女的指针（叶子节点的子女为空）。
（2） 节点的所有key按非降序存放，假设节点的关键字分别为K[1], K[2] … K
, 指向子女的指针分别为P[1], P[2]…P[n+1]，其中n为节点关键字的个数。则有：
P[1] <= K[1] <= P[2] <= K[2] …..<= K
<= P[n+1] // 这里P
也指其指向的关键字
（3） 若根节点非空，则根节点至少包含两个子女；
（4） 所有的叶子节点都在同一层。
B树的搜索，search（root, target）
从root出发，对每个节点，找到大于或等于target关键字中最小的K[i]，如果K[i]与target相等，则查找成功；否则在P[i]中递归搜索target，直到到达叶子节点，如仍未找到则说明关键字不在B树中，查找失败。
B树的插入，insert(root, target)
B树的插入需要沿着搜索的路径从root一直到叶节点，根据B树的规则，每个节点的关键字个数在[t-1, 2t-1]之间，故当target要加入到某个叶子时，如果该叶子节点已经有2t-1个关键字，则再加入target就违反了B树的定义，这时就需要对该叶子节点进行分裂，将叶子以中间节点为界，分成两个包含t-1个关键字的子节点，同时把中间节点提升到该叶子的父节点中，如果这样使得父节点的关键字个数超过2t-1，则要继续向上分裂，直到根节点，根节点的分裂会使得树加高一层。
上面的过程需要回溯，那么能否从根下降到叶节点后不回溯就能完成节点的插入呢？答案是肯定的，核心思想就是未雨绸缪，在下降的过程中，一旦遇到已满的节点（关键字个数为2t-1），就就对该节点进行分裂，这样就保证在叶子节点需要分裂时，其父节点一定是非满的，从而不需要再向上回溯。
B树的删除，delete(root, target)
在删除B树节点时，为了避免回溯，当遇到需要合并的节点时就立即执行合并，B树的删除算法如下：从root向叶子节点按照search规律遍历：
（1） 如果target在叶节点x中，则直接从x中删除target，情况（2）和（3）会保证当再叶子节点找到target时，肯定能借节点或合并成功而不会引起父节点的关键字个数少于t-1。
（2） 如果target在分支节点x中：
（a） 如果x的左分支节点y至少包含t个关键字，则找出y的最右的关键字prev，并替换target，并在y中递归删除prev。
（b） 如果x的右分支节点z至少包含t个关键字，则找出z的最左的关键字next，并替换target，并在z中递归删除next。
（c） 否则，如果y和z都只有t-1个关键字，则将targe与z合并到y中，使得y有2t-1个关键字，再从y中递归删除target。
（3） 如果关键字不在分支节点x中，则必然在x的某个分支节点p[i]中，如果p[i]节点只有t-1个关键字。
（a） 如果p[i-1]拥有至少t个关键字，则将x的某个关键字降至p[i]中，将p[i-1]的最大节点上升至x中。
（b） 如果p[i+1]拥有至少t个关键字，则将x个某个关键字降至p[i]中，将p[i+1]的最小关键字上升至x个。
（c） 如果p[i-1]与p[i+1]都拥有t-1个关键字，则将p[i]与其中一个兄弟合并，将x的一个关键字降至合并的节点中，成为中间关键字。
B树的实现
数据结构
/**
* @brief the degree of btree
* key per node: [M-1, 2M-1]
* child per node: [M, 2M]
*/
#define M 2 // M为B树的度
typedef struct btree_node {
int k[2*M-1];
struct btree_node *p[2*M];
int num;
bool is_leaf;
} btree_node;
创建B树
btree_node *btree_node_new()
{
btree_node *node = (btree_node *)malloc(sizeof(btree_node));
if(NULL == node) {
return NULL;
}
for(int i = 0; i < 2 * M -1; i++) { // 初始化key
node->k[i] = 0;
}
for(int i = 0; i < 2 * M; i++) { // 初始化pointer
node->p[i] = NULL;
}
node->num = 0;
node->is_leaf = true; // 默认为叶子
}
btree_node *btree_create()
{
btree_node *node = btree_node_new();
if(NULL == node) {
return NULL;
}
return node;
}
插入节点
// 当child满时，将其进行分裂，child = parent->p[pos]
int btree_split_child(btree_node *parent, int pos, btree_node *child)
{
// 创建新的节点
btree_node *new_child = btree_node_new();
if(NULL == new_child) {
return -1;
}
// 新节点的is_leaf与child相同，key的个数为M-1
new_child->is_leaf = child->is_leaf;
new_child->num = M - 1;
// 将child后半部分的key拷贝给新节点
for(int i = 0; i < M - 1; i++) {
new_child->k[i] = child->k[i+M];
}
// 如果child不是叶子，还需要把指针拷过去，指针比节点多1
if(false == new_child->is_leaf) {
for(int i = 0; i < M; i++) {
new_child->p[i] = child->p[i+M];
}
}
child->num = M - 1;
// child的中间节点需要插入parent的pos处，更新parent的key和pointer
for(int i = parent->num; i > pos; i--) {
parent->p[i+1] = parent->p[i];
}
parent->p[pos+1] = new_child;
for(int i = parent->num - 1; i >= pos; i--) {
parent->k[i+1] = parent->k[i];
}
parent->k[pos] = child->k[M-1];
parent->num += 1;
}
// 执行该操作时，node->num < 2M-1
void btree_insert_nonfull(btree_node *node, int target)
{
if(1 == node->is_leaf) { // 如果在叶子中找到，直接删除
int pos = node->num;
while(pos >= 1 && target < node->k[pos-1]) {
node->k[pos] = node->k[pos-1];
pos--;
}
node->k[pos] = target;
node->num += 1;
} else { // 沿着查找路径下降
int pos = node->num;
while(pos > 0 && target < node->k[pos-1]) {
pos--;
}
if(2 * M -1 == node->p[pos]->num) {
btree_split_child(node, pos, node->p[pos]); // 如果路径上有满节点则分裂
if(target > node->k[pos]) {
pos++;
}
}
btree_insert_nonfull(node->p[pos], target);
}
}
//插入入口
btree_node* btree_insert(btree_node *root, int target)
{
if(NULL == root) {
return NULL;
}
// 对根节点的特殊处理，如果根是满的，唯一使得树增高的情形
// 先申请一个新的
if(2 * M - 1 == root->num) {
btree_node *node = btree_node_new();
if(NULL == node) {
return root;
}
node->is_leaf = 0;
node->p[0] = root;
btree_split_child(node, 0, root);
btree_insert_nonfull(node, target);
return node;
} else {
btree_insert_nonfull(root, target);
return root;
}
}
删除节点
// 将y，root->k[pos], z合并到y节点，并释放z节点，y,z各有M-1个节点
void btree_merge_child(btree_node *root, int pos, btree_node *y, btree_node *z)
{
// 将z中节点拷贝到y的后半部分
y->num = 2 * M - 1;
for(int i = M; i < 2 * M - 1; i++) {
y->k[i] = z->k[i-M];
}
y->k[M-1] = root->k[pos]; // k[pos]下降为y的中间节点
// 如果z非叶子，需要拷贝pointer
if(false == z->is_leaf) {
for(int i = M; i < 2 * M; i++) {
y->p[i] = z->p[i-M];
}
}
// k[pos]下降到y中，更新key和pointer
for(int j = pos + 1; j < root->num; j++) {
root->k[j-1] = root->k[j];
root->p[j] = root->p[j+1];
}
root->num -= 1;
free(z);
}
// 删除入口
btree_node *btree_delete(btree_node *root, int target)
{
// 特殊处理，当根只有两个子女，切两个子女的关键字个数都为M-1时，合并根与两个子女
// 这是唯一能降低树高的情形
if(1 == root->num) {
btree_node *y = root->p[0];
btree_node *z = root->p[1];
if(NULL != y && NULL != z &&
M - 1 == y->num && M - 1 == z->num) {
btree_merge_child(root, 0, y, z);
free(root);
btree_delete_nonone(y, target);
return y;
} else {
btree_delete_nonone(root, target);
return root;
}
} else {
btree_delete_nonone(root, target);
return root;
}
}
// root至少有个t个关键字，保证不会回溯
void btree_delete_nonone(btree_node *root, int target)
{
if(true == root->is_leaf) { // 如果在叶子节点，直接删除
int i = 0;
while(i < root->num && target > root->k[i]) i++;
if(target == root->k[i]) {
for(int j = i + 1; j < 2 * M - 1; j++) {
root->k[j-1] = root->k[j];
}
root->num -= 1;
} else {
printf("target not found\n");
}
} else { // 在分支中
int i = 0;
btree_node *y = NULL, *z = NULL;
while(i < root->num && target > root->k[i]) i++;
if(i < root->num && target == root->k[i]) { // 如果在分支节点找到target
y = root->p[i];
z = root->p[i+1];
if(y->num > M - 1) {
// 如果左分支关键字多于M-1，则找到左分支的最右节点prev，替换target
// 并在左分支中递归删除prev,情况2（a)
int pre = btree_search_predecessor(y);
root->k[i] = pre;
btree_delete_nonone(y, pre);
} else if(z->num > M - 1) {
// 如果右分支关键字多于M-1，则找到右分支的最左节点next，替换target
// 并在右分支中递归删除next,情况2(b)
int next = btree_search_successor(z);
root->k[i] = next;
btree_delete_nonone(z, next);
} else {
// 两个分支节点数都为M-1，则合并至y，并在y中递归删除target,情况2(c)
btree_merge_child(root, i, y, z);
btree_delete(y, target);
}
} else { // 在分支没有找到，肯定在分支的子节点中
y = root->p[i];
if(i < root->num) {
z = root->p[i+1];
}
btree_node *p = NULL;
if(i > 0) {
p = root->p[i-1];
}
if(y->num == M - 1) {
if(i > 0 && p->num > M - 1) {
// 左邻接节点关键字个数大于M-1
btree_shift_to_right_child(root, i-1, p, y); //情况3(a)
} else if(i < root->num && z->num > M - 1) {
// 右邻接节点关键字个数大于M-1
btree_shift_to_left_child(root, i, y, z); // 情况3(b)
} else if(i > 0) {
btree_merge_child(root, i-1, p, y); // 情况3（c)
y = p;
} else {
btree_merge_child(root, i, y, z); // 情况3(c)
}
btree_delete_nonone(y, target);
} else {
btree_delete_nonone(y, target);
}
}
}
}
//寻找rightmost，以root为根的最大关键字
int btree_search_predecessor(btree_node *root)
{
btree_node *y = root;
while(false == y->is_leaf) {
y = y->p[y->num];
}
return y->k[y->num-1];
}
// 寻找leftmost，以root为根的最小关键字
int btree_search_successor(btree_node *root)
{
btree_node *z = root;
while(false == z->is_leaf) {
z = z->p[0];
}
return z->k[0];
}
// z向y借节点，将root->k[pos]下降至z，将y的最大关键字上升至root的pos处
void btree_shift_to_right_child(btree_node *root, int pos,
btree_node *y, btree_node *z)
{
z->num += 1;
for(int i = z->num -1; i > 0; i--) {
z->k[i] = z->k[i-1];
}
z->k[0]= root->k[pos];
root->k[pos] = y->k[y->num-1];
if(false == z->is_leaf) {
for(int i = z->num; i > 0; i--) {
z->p[i] = z->p[i-1];
}
z->p[0] = y->p[y->num];
}
y->num -= 1;
}
// y向借节点，将root->k[pos]下降至y，将z的最小关键字上升至root的pos处
void btree_shift_to_left_child(btree_node *root, int pos,
btree_node *y, btree_node *z)
{
y->num += 1;
y->k[y->num-1] = root->k[pos];
root->k[pos] = z->k[0];
for(int j = 1; j < z->num; j++) {
z->k[j-1] = z->k[j];
}
if(false == z->is_leaf) {
y->p[y->num] = z->p[0];
for(int j = 1; j <= z->num; j++) {
z->p[j-1] = z->p[j];
}
}
z->num -= 1;
}
插入与删除过程（图片为层序遍历的结果）
插入序列[18, 31, 12, 10, 15, 48, 45, 47, 50, 52, 23, 30, 20]
删除序列[15, 18, 23, 30, 31, 52, 50, 48, 47, 45, 20, 12, 10]
B+树
与B树不同的时，B+树的关键字都存储在叶子节点，分支节点均为索引，在实现上大致与B树类似，在几个细节稍有不同。
（1） 数据结构中增加prev，next指针，用于将叶子节点串成有序双向链表。
（2） 在节点分裂的时候，如果分裂的节点为叶子，则需要把中间节点保留在左(或右)边的分支上，并且需要更新prev和next。
（3） 在节点合的时候，如果合并的节点为叶子，不需要把跟节点下降为中间节点，并且需要更新prev和next。
（4） 在向邻接节点借节点时，借来的关键字并不是父节点的关键字，而是邻接点的关键字，并根据实际情况更新父节点的索引。
btree.rar C语言实现，因用到了bool变量，编译时请使用g++ -o btree btree.c
B树的定义
假设B树的度为t（t>=2），则B树满足如下要求：（参考算法导论）
（1） 每个非根节点至少包含t-1个关键字，t个指向子节点的指针；至多包含2t-1个关键字，2t个指向子女的指针（叶子节点的子女为空）。
（2） 节点的所有key按非降序存放，假设节点的关键字分别为K[1], K[2] … K
, 指向子女的指针分别为P[1], P[2]…P[n+1]，其中n为节点关键字的个数。则有：
P[1] <= K[1] <= P[2] <= K[2] …..<= K
<= P[n+1] // 这里P
也指其指向的关键字
（3） 若根节点非空，则根节点至少包含两个子女；
（4） 所有的叶子节点都在同一层。
B树的搜索，search（root, target）
从root出发，对每个节点，找到大于或等于target关键字中最小的K[i]，如果K[i]与target相等，则查找成功；否则在P[i]中递归搜索target，直到到达叶子节点，如仍未找到则说明关键字不在B树中，查找失败。
B树的插入，insert(root, target)
B树的插入需要沿着搜索的路径从root一直到叶节点，根据B树的规则，每个节点的关键字个数在[t-1, 2t-1]之间，故当target要加入到某个叶子时，如果该叶子节点已经有2t-1个关键字，则再加入target就违反了B树的定义，这时就需要对该叶子节点进行分裂，将叶子以中间节点为界，分成两个包含t-1个关键字的子节点，同时把中间节点提升到该叶子的父节点中，如果这样使得父节点的关键字个数超过2t-1，则要继续向上分裂，直到根节点，根节点的分裂会使得树加高一层。
上面的过程需要回溯，那么能否从根下降到叶节点后不回溯就能完成节点的插入呢？答案是肯定的，核心思想就是未雨绸缪，在下降的过程中，一旦遇到已满的节点（关键字个数为2t-1），就就对该节点进行分裂，这样就保证在叶子节点需要分裂时，其父节点一定是非满的，从而不需要再向上回溯。
B树的删除，delete(root, target)
在删除B树节点时，为了避免回溯，当遇到需要合并的节点时就立即执行合并，B树的删除算法如下：从root向叶子节点按照search规律遍历：
（1） 如果target在叶节点x中，则直接从x中删除target，情况（2）和（3）会保证当再叶子节点找到target时，肯定能借节点或合并成功而不会引起父节点的关键字个数少于t-1。
（2） 如果target在分支节点x中：
（a） 如果x的左分支节点y至少包含t个关键字，则找出y的最右的关键字prev，并替换target，并在y中递归删除prev。
（b） 如果x的右分支节点z至少包含t个关键字，则找出z的最左的关键字next，并替换target，并在z中递归删除next。
（c） 否则，如果y和z都只有t-1个关键字，则将targe与z合并到y中，使得y有2t-1个关键字，再从y中递归删除target。
（3） 如果关键字不在分支节点x中，则必然在x的某个分支节点p[i]中，如果p[i]节点只有t-1个关键字。
（a） 如果p[i-1]拥有至少t个关键字，则将x的某个关键字降至p[i]中，将p[i-1]的最大节点上升至x中。
（b） 如果p[i+1]拥有至少t个关键字，则将x个某个关键字降至p[i]中，将p[i+1]的最小关键字上升至x个。
（c） 如果p[i-1]与p[i+1]都拥有t-1个关键字，则将p[i]与其中一个兄弟合并，将x的一个关键字降至合并的节点中，成为中间关键字。
B树的实现
数据结构
/**
* @brief the degree of btree
* key per node: [M-1, 2M-1]
* child per node: [M, 2M]
*/
#define M 2 // M为B树的度
typedef struct btree_node {
int k[2*M-1];
struct btree_node *p[2*M];
int num;
bool is_leaf;
} btree_node;
创建B树
btree_node *btree_node_new()
{
btree_node *node = (btree_node *)malloc(sizeof(btree_node));
if(NULL == node) {
return NULL;
}
for(int i = 0; i < 2 * M -1; i++) { // 初始化key
node->k[i] = 0;
}
for(int i = 0; i < 2 * M; i++) { // 初始化pointer
node->p[i] = NULL;
}
node->num = 0;
node->is_leaf = true; // 默认为叶子
}
btree_node *btree_create()
{
btree_node *node = btree_node_new();
if(NULL == node) {
return NULL;
}
return node;
}
插入节点
// 当child满时，将其进行分裂，child = parent->p[pos]
int btree_split_child(btree_node *parent, int pos, btree_node *child)
{
// 创建新的节点
btree_node *new_child = btree_node_new();
if(NULL == new_child) {
return -1;
}
// 新节点的is_leaf与child相同，key的个数为M-1
new_child->is_leaf = child->is_leaf;
new_child->num = M - 1;
// 将child后半部分的key拷贝给新节点
for(int i = 0; i < M - 1; i++) {
new_child->k[i] = child->k[i+M];
}
// 如果child不是叶子，还需要把指针拷过去，指针比节点多1
if(false == new_child->is_leaf) {
for(int i = 0; i < M; i++) {
new_child->p[i] = child->p[i+M];
}
}
child->num = M - 1;
// child的中间节点需要插入parent的pos处，更新parent的key和pointer
for(int i = parent->num; i > pos; i--) {
parent->p[i+1] = parent->p[i];
}
parent->p[pos+1] = new_child;
for(int i = parent->num - 1; i >= pos; i--) {
parent->k[i+1] = parent->k[i];
}
parent->k[pos] = child->k[M-1];
parent->num += 1;
}
// 执行该操作时，node->num < 2M-1
void btree_insert_nonfull(btree_node *node, int target)
{
if(1 == node->is_leaf) { // 如果在叶子中找到，直接删除
int pos = node->num;
while(pos >= 1 && target < node->k[pos-1]) {
node->k[pos] = node->k[pos-1];
pos--;
}
node->k[pos] = target;
node->num += 1;
} else { // 沿着查找路径下降
int pos = node->num;
while(pos > 0 && target < node->k[pos-1]) {
pos--;
}
if(2 * M -1 == node->p[pos]->num) {
btree_split_child(node, pos, node->p[pos]); // 如果路径上有满节点则分裂
if(target > node->k[pos]) {
pos++;
}
}
btree_insert_nonfull(node->p[pos], target);
}
}
//插入入口
btree_node* btree_insert(btree_node *root, int target)
{
if(NULL == root) {
return NULL;
}
// 对根节点的特殊处理，如果根是满的，唯一使得树增高的情形
// 先申请一个新的
if(2 * M - 1 == root->num) {
btree_node *node = btree_node_new();
if(NULL == node) {
return root;
}
node->is_leaf = 0;
node->p[0] = root;
btree_split_child(node, 0, root);
btree_insert_nonfull(node, target);
return node;
} else {
btree_insert_nonfull(root, target);
return root;
}
}
删除节点
// 将y，root->k[pos], z合并到y节点，并释放z节点，y,z各有M-1个节点
void btree_merge_child(btree_node *root, int pos, btree_node *y, btree_node *z)
{
// 将z中节点拷贝到y的后半部分
y->num = 2 * M - 1;
for(int i = M; i < 2 * M - 1; i++) {
y->k[i] = z->k[i-M];
}
y->k[M-1] = root->k[pos]; // k[pos]下降为y的中间节点
// 如果z非叶子，需要拷贝pointer
if(false == z->is_leaf) {
for(int i = M; i < 2 * M; i++) {
y->p[i] = z->p[i-M];
}
}
// k[pos]下降到y中，更新key和pointer
for(int j = pos + 1; j < root->num; j++) {
root->k[j-1] = root->k[j];
root->p[j] = root->p[j+1];
}
root->num -= 1;
free(z);
}
// 删除入口
btree_node *btree_delete(btree_node *root, int target)
{
// 特殊处理，当根只有两个子女，切两个子女的关键字个数都为M-1时，合并根与两个子女
// 这是唯一能降低树高的情形
if(1 == root->num) {
btree_node *y = root->p[0];
btree_node *z = root->p[1];
if(NULL != y && NULL != z &&
M - 1 == y->num && M - 1 == z->num) {
btree_merge_child(root, 0, y, z);
free(root);
btree_delete_nonone(y, target);
return y;
} else {
btree_delete_nonone(root, target);
return root;
}
} else {
btree_delete_nonone(root, target);
return root;
}
}
// root至少有个t个关键字，保证不会回溯
void btree_delete_nonone(btree_node *root, int target)
{
if(true == root->is_leaf) { // 如果在叶子节点，直接删除
int i = 0;
while(i < root->num && target > root->k[i]) i++;
if(target == root->k[i]) {
for(int j = i + 1; j < 2 * M - 1; j++) {
root->k[j-1] = root->k[j];
}
root->num -= 1;
} else {
printf("target not found\n");
}
} else { // 在分支中
int i = 0;
btree_node *y = NULL, *z = NULL;
while(i < root->num && target > root->k[i]) i++;
if(i < root->num && target == root->k[i]) { // 如果在分支节点找到target
y = root->p[i];
z = root->p[i+1];
if(y->num > M - 1) {
// 如果左分支关键字多于M-1，则找到左分支的最右节点prev，替换target
// 并在左分支中递归删除prev,情况2（a)
int pre = btree_search_predecessor(y);
root->k[i] = pre;
btree_delete_nonone(y, pre);
} else if(z->num > M - 1) {
// 如果右分支关键字多于M-1，则找到右分支的最左节点next，替换target
// 并在右分支中递归删除next,情况2(b)
int next = btree_search_successor(z);
root->k[i] = next;
btree_delete_nonone(z, next);
} else {
// 两个分支节点数都为M-1，则合并至y，并在y中递归删除target,情况2(c)
btree_merge_child(root, i, y, z);
btree_delete(y, target);
}
} else { // 在分支没有找到，肯定在分支的子节点中
y = root->p[i];
if(i < root->num) {
z = root->p[i+1];
}
btree_node *p = NULL;
if(i > 0) {
p = root->p[i-1];
}
if(y->num == M - 1) {
if(i > 0 && p->num > M - 1) {
// 左邻接节点关键字个数大于M-1
btree_shift_to_right_child(root, i-1, p, y); //情况3(a)
} else if(i < root->num && z->num > M - 1) {
// 右邻接节点关键字个数大于M-1
btree_shift_to_left_child(root, i, y, z); // 情况3(b)
} else if(i > 0) {
btree_merge_child(root, i-1, p, y); // 情况3（c)
y = p;
} else {
btree_merge_child(root, i, y, z); // 情况3(c)
}
btree_delete_nonone(y, target);
} else {
btree_delete_nonone(y, target);
}
}
}
}
//寻找rightmost，以root为根的最大关键字
int btree_search_predecessor(btree_node *root)
{
btree_node *y = root;
while(false == y->is_leaf) {
y = y->p[y->num];
}
return y->k[y->num-1];
}
// 寻找leftmost，以root为根的最小关键字
int btree_search_successor(btree_node *root)
{
btree_node *z = root;
while(false == z->is_leaf) {
z = z->p[0];
}
return z->k[0];
}
// z向y借节点，将root->k[pos]下降至z，将y的最大关键字上升至root的pos处
void btree_shift_to_right_child(btree_node *root, int pos,
btree_node *y, btree_node *z)
{
z->num += 1;
for(int i = z->num -1; i > 0; i--) {
z->k[i] = z->k[i-1];
}
z->k[0]= root->k[pos];
root->k[pos] = y->k[y->num-1];
if(false == z->is_leaf) {
for(int i = z->num; i > 0; i--) {
z->p[i] = z->p[i-1];
}
z->p[0] = y->p[y->num];
}
y->num -= 1;
}
// y向借节点，将root->k[pos]下降至y，将z的最小关键字上升至root的pos处
void btree_shift_to_left_child(btree_node *root, int pos,
btree_node *y, btree_node *z)
{
y->num += 1;
y->k[y->num-1] = root->k[pos];
root->k[pos] = z->k[0];
for(int j = 1; j < z->num; j++) {
z->k[j-1] = z->k[j];
}
if(false == z->is_leaf) {
y->p[y->num] = z->p[0];
for(int j = 1; j <= z->num; j++) {
z->p[j-1] = z->p[j];
}
}
z->num -= 1;
}
插入与删除过程（图片为层序遍历的结果）
插入序列[18, 31, 12, 10, 15, 48, 45, 47, 50, 52, 23, 30, 20]
删除序列[15, 18, 23, 30, 31, 52, 50, 48, 47, 45, 20, 12, 10]
B+树
与B树不同的时，B+树的关键字都存储在叶子节点，分支节点均为索引，在实现上大致与B树类似，在几个细节稍有不同。
（1） 数据结构中增加prev，next指针，用于将叶子节点串成有序双向链表。
（2） 在节点分裂的时候，如果分裂的节点为叶子，则需要把中间节点保留在左(或右)边的分支上，并且需要更新prev和next。
（3） 在节点合的时候，如果合并的节点为叶子，不需要把跟节点下降为中间节点，并且需要更新prev和next。
（4） 在向邻接节点借节点时，借来的关键字并不是父节点的关键字，而是邻接点的关键字，并根据实际情况更新父节点的索引。
btree.rar C语言实现，因用到了bool变量，编译时请使用g++ -o btree btree.c
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