动态规划算法(后附常见动态规划为题及Java代码实现)
2015-12-06 16:52
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一、基本概念
动态规划过程是:每次决策依赖于当前状态,又随即引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的,所以,这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。
二、基本思想与策略
基本思想与分治法类似,也是将待求解的问题分解为若干个子问题(阶段),按顺序求解子阶段,前一子问题的解,为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时,列出各种可能的局部解,通过决策保留那些有可能达到最优的局部解,丢弃其他局部解。依次解决各子问题,最后一个子问题就是初始问题的解。由于动态规划解决的问题多数有重叠子问题这个特点,为减少重复计算,对每一个子问题只解一次,将其不同阶段的不同状态保存在一个二维数组中。
与分治法最大的差别是:适合于用动态规划法求解的问题,经分解后得到的子问题往往不是互相独立的(即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上,进行进一步的求解)。
以上都过于理论,还是看看常见的动态规划问题吧!!!
三、常见动态规划问题
1、找零钱问题
有数组penny,penny中所有的值都为正数且不重复。每个值代表一种面值的货币,每种面值的货币可以使用任意张,再给定一个整数aim(小于等于1000)代表要找的钱数,求换钱有多少种方法。给定数组penny及它的大小(小于等于50),同时给定一个整数aim,请返回有多少种方法可以凑成aim。
测试样例:
[1,2,4],3,3
返回:2
解析:设dp
[m]为使用前n中货币凑成的m的种数,那么就会有两种情况:
使用第n种货币:dp[n-1][m]+dp[n-1][m-peney
]
不用第n种货币:dp[n-1][m],为什么不使用第n种货币呢,因为penney
>m。
这样就可以求出当m>=penney
时 dp
[m] = dp[n-1][m]+dp[n-1][m-peney
],否则,dp
[m] = dp[n-1][m]
代码如下:
<span style="font-size:18px;">import java.util.*; public class Exchange { public int countWays(int[] penny, int n, int aim) { // write code here if(n==0||penny==null||aim<0){ return 0; } int[][] pd = new int [aim+1]; for(int i=0;i<n;i++){ pd[i][0] = 1; } for(int i=1;penny[0]*i<=aim;i++){ pd[0][penny[0]*i] = 1; } for(int i=1;i<n;i++){ for(int j=0;j<=aim;j++){ if(j>=penny[i]){ pd[i][j] = pd[i-1][j]+pd[i][j-penny[i]]; }else{ pd[i][j] = pd[i-1][j]; } } } return pd[n-1][aim]; } }</span>
2、走方格问题
有一个矩阵map,它每个格子有一个权值。从左上角的格子开始每次只能向右或者向下走,最后到达右下角的位置,路径上所有的数字累加起来就是路径和,返回所有的路径中最小的路径和。给定一个矩阵map及它的行数n和列数m,请返回最小路径和。保证行列数均小于等于100.
测试样例:
[[1,2,3],[1,1,1]],2,3
返回:4
解析:设dp
[m]为走到n*m位置的路径长度,那么显而易见dp
[m] = min(dp[n-1][m],dp
[m-1]);
代码如下:
<span style="font-size:18px;">import java.util.*; public class MinimumPath { public int getMin(int[][] map, int n, int m) { // write code here int[][] dp = new int [m]; for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<=i;j++){ dp[i][0]+=map[j][0]; } } for(int i=0;i<m;i++){ for(int j=0;j<=i;j++){ dp[0][i]+=map[0][j]; } } for(int i=1;i<n;i++){ for(int j=1;j<m;j++){ dp[i][j] = min(dp[i][j-1]+map[i][j],dp[i-1][j]+map[i][j]); } } return dp[n-1][m-1]; } public int min(int a,int b){ if(a>b){ return b; }else{ return a; } } }</span>
3、走台阶问题
有n级台阶,一个人每次上一级或者两级,问有多少种走完n级台阶的方法。为了防止溢出,请将结果Mod 1000000007给定一个正整数int n,请返回一个数,代表上楼的方式数。保证n小于等于100000。
测试样例:
1
返回:1
解析:这是一个非常经典的为题,设f(n)为上n级台阶的方法,要上到n级台阶的最后一步有两种方式:从n-1级台阶走一步;从n-1级台阶走两步,于是就有了这个公式f(n) = f(n-1)+f(n-2);
代码如下:
<span style="font-size:18px;">import java.util.*; public class GoUpstairs { public int countWays(int n) { // write code here if(n<=2) return n; int f = 1%1000000007; int s = 2%1000000007; int t = 0; for(int i=3;i<=n;i++){ t = (f+s)%1000000007; f = s; s = t; } return t; } }</span>
4、最长公共序列数
给定两个字符串A和B,返回两个字符串的最长公共子序列的长度。例如,A="1A2C3D4B56”,B="B1D23CA45B6A”,”123456"或者"12C4B6"都是最长公共子序列。给定两个字符串A和B,同时给定两个串的长度n和m,请返回最长公共子序列的长度。保证两串长度均小于等于300。
测试样例:
"1A2C3D4B56",10,"B1D23CA45B6A",12
返回:6
解析:设dp
[m] ,为A的前n个字符与B的前m个字符的公共序列长度,则当A
==B[m]的时候,dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1]+1,dp[i-1][j],dp[i][j-1]),否则,dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
代码如下:
<span style="font-size:18px;">import java.util.*; public class LCS { public int findLCS(String A, int n, String B, int m) { // write code here int[][] dp = new int [m]; char[] a = A.toCharArray(); char[] b = B.toCharArray(); for(int i=0;i<n;i++){ if(a[i]==b[0]){ dp[i][0] = 1; for(int j=i+1;j<n;j++){ dp[j][0] = 1; } break; } } for(int i=0;i<m;i++){ if(a[0]==b[i]){ dp[0][i] = 1; for(int j=i+1;j<m;j++){ dp[0][j] = 1; } break; } } for(int i=1;i<n;i++){ for(int j=1;j<m;j++){ if(a[i]==b[j]){ dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1]+1,dp[i-1][j],dp[i][j-1]); }else{ dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]); } } } return dp[n-1][m-1]; } public int max(int a,int b,int c){ int max = a; if(b>max) max=b; if(c>max) max = c; return max; } }</span>
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