学习笔记 --- 线段树

开始切割数据结构，种树之路，学习了一下线段树，写一下心得与体会

一线段树摆上：



线段树的原理：将[1,n]分解成若干特定的子区间(数量不超过4*n),然后，将每个区间[L,R]都分解为少量特定的子区间，通过对这些少量子区间的修改或者统计，来实现快速对[L,R]的修改或者统计。

线段树中有如下定理：

定理：n>=3时，一个[1,n]的线段树可以将[1,n]的任意子区间[L,R]分解为不超过个子区间。

定理：n>=3时，一个[1,n]的线段树可以将[1,n]的任意子区间[L,R]分解为不超过个子区间。

一般存储采用数组直接存储：

当前点的位置为now，那么它的左子树位置为now*2，右子树位置为now*2+1（和二叉树存储同理）

那么是线段树的模板（此处以一个维护和的线段树演绎）

建树过程：

void updata(int now)
{
sum[now]=sum[now<<1]+sum[now<<1|1];
}//求和过程
//此过程线段树核心过程，一般不同的线段树，最大的不同处就在此处
void build(int left,int right,int now)
{
if (left==right)
{
sum[now]=tree[left];
return;
}//每当达到叶节点就把值更新一下
int mid=(left+right)>>1;
build(left,mid,now<<1);//左子树建树
build(mid+1,right,now<<1|1);//右子树建树
updata(now); //容易遗忘但是特别重要的一个语句，在更新完子数后根据子数修改根
}//建树过程

点修改过程：

更新一个点的值

void point_change(int now,int left,int right,int data,int locate)
{
if (left==right)
{
sum[now]+=data;
return;
}//如果到达这个点的位置，更新
int mid=(left+right)>>1;
if (locate<=mid)//如果要修改的点位于左子树，向左查询
point_change(now<<1,left,mid,data,locate);
else//反之向右
point_change(now<<1|1,mid+1,right,data,locate);
updata(now);//仍旧不能忘，更新完点就要更新根
} //点修改过程

区间修改过程：

更新区间【left，right】的值

标记的含义：

本节点的统计信息已经根据标记更新过了，但是本节点的子节点仍需要进行更新。即，如果要给一个区间的所有值都加上1，那么，实际上并没有给这个区间的所有值都加上1，而是打个标记，记下来，这个节点所包含的区间需要加1.打上标记后，要根据标记更新本节点的统计信息，比如，如果本节点维护的是区间和，而本节点包含5个数，那么，打上+1的标记之后，要给本节点维护的和+5。这是向下延迟修改，但是向上显示的信息是修改以后的信息，所以查询的时候可以得到正确的结果。有的标记之间会相互影响，所以比较简单的做法是，每递归到一个区间，首先下推标记（若本节点有标记，就下推标记），然后再打上新的标记，这样仍然每个区间操作的复杂度是O(log2(n))。

标记有相对标记和绝对标记之分：

相对标记是将区间的所有数+a之类的操作，标记之间可以共存，跟打标记的顺序无关（跟顺序无关才是重点）。

所以，可以在区间修改的时候不下推标记，留到查询的时候再下推。绝对标记是将区间的所有数变成a之类的操作，打标记的顺序直接影响结果，所以这种标记在区间修改的时候必须下推旧标记，不然会出错。

注意，有多个标记的时候，标记下推的顺序也很重要，错误的下推顺序可能会导致错误。

void section_change(int LEFT,int RIGHT,int data,int left,int right,int now)//LEFT，RIGHT表示需要更新的区间，data为更新值，left，right为当前点的控制区间，now当前位置
{
if (LEFT<=left && RIGHT>=right)//如果本区间完全在更新的区间范围，就更新
{
sum[now]+=data*(right-left+1);
delta[now]+=data;//惰性标记，子区间的值需要依此修改
return;
}
int mid=(left+right)>>1;
if (LEFT<=mid)//判断左子树和修改区间有无交集，有交集则递归
section_change(LEFT,RIGHT,data,left,mid,now<<1);
if (RIGHT>mid)//原理同上
section_change(LEFT,RIGHT,data,mid+1,right,now<<1|1);
updata(now);//同理需要更新根
}//区间修改过程

区间查询过程：

查询区间【left，right】的值

void pushdown(int now,int leftn,int rightn)//把根的标记下放到子数，确保答案的正确性
{
if (delta[now]!=0)
{
delta[now<<1]+=delta[now];
delta[now<<1|1]+=delta[now];//标记下推
sum[now<<1]+=delta[now]*leftn;
sum[now<<1|1]+=delta[now]*rightn;//修改子节点的值
delta[now]=0;//清除当前点的标记
}
}//标记下放函数

int query(int LEFT,int RIGHT,int left,int right,int now)
{
if (LEFT<=left && RIGHT>=right)
return sum[now];//在区间内，直接返回即可
int mid=(left+right)>>1;
pushdown(now,mid-left+1,right-mid);//标记下推（不加这步，结果出错）
int total=0;//累计答案
if (LEFT<=mid) total+=query(LEFT,RIGHT,left,mid,now<<1);
if (RIGHT>mid) total+=query(LEFT,RIGHT,mid+1,right,now<<1|1);
return total;
} //区间查询

主过程的调用：

int main()
{
//建树
Build(1,n,1);
//点修改
Update(L,C,1,n,1);
//区间修改
Update(L,R,C,1,n,1);
//区间查询
int ANS=Query(L,R,1,n,1);
}

说了这么多，还是需要大量题目的练习( ⊙ o ⊙ )啊！…..