进制之间的转换

前面两节对二进制、八进制和十六进制进行了说明，接下来讲一下不同进制之间的数字是如何转换的，这在编程中有时会用到。

首先，二进制、八进制和十六进制向十进制转换都是非常容易的，就是“按权相加”。

所谓“权”，也即“位权”。例如，十进制第1位的位权为100=1，第2位的位权为101=10，第3位的位权为102=100；而二进制第1位的位权为20=1，第2位的位权为21=2，第3位的位权为22=4。设数字所采用的进制为N（基数也是N），那么第
i 位的位权为 N(i-1)。

不同进制转换为十进制举例：

二进制：1001 = 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1×20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9
二进制：101.1001 = 1×22 + 0×21 + 1×20 + 1×2-1 + 0×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0 + 0 + 0.125 = 5.625
八进制：0302 = 3×82 + 0×81 + 2×80 = 192 + 0 + 2 = 194
八进制：0302.46 = 3×82 + 0×81 + 2×80 + 4×8-1 + 6×8-2 = 192 + 0 + 2 + 0.5 + 0.09375= 194.59375
十六进制：0Xea7 = 14×162 + 10×161 + 7×160 = 4998

十进制转换为二进制——辗除法

上节的表格中给出了简单的十进制和二进制的转换关系，要想获得更多的转换关系，可以使用辗除法。辗除法也就是“除模取余”法。除模取余就是将一个几进制的数转化成另一个进制时，
另一个进制的基数就是模，用将要转化的进制数除以模，取它的余数。

下图以十进制的“19”转换为二进制为例进行讲解：



图1：19 转换为二进制

如图所示，以2为除数，一直相除下去，直到商为0，余数则为求得的二进制数。

注意：余数要倒序排列，也就是说，最先求得的余数排在二进制的最后面，最后求得的余数排在二进制的最前面。上面的例子中，最后求得的二进制数为
10011。

虽然其他进制也可以按照辗除法来转换，但是比较麻烦，下面介绍更简单的方法。

二进制和八进制的转换

二进制向八进制的转换是每三位二进制数转换为一位八进制数，运算的顺序是从低位向高位依次进行，高位不足三位用零补充。以二进制“1011101”为例，如下图所示：



图2：二进制转八进制

转换的结果为：1011101 = 0135

八进制向二进制转换的思路是八进制的一位转换为二进制的三位，运算的顺序是从低位向高位依次进行。同样以八进制“0135”为例，如下图所示：



图3：八进制转二进制

转换的结果为：0135 = 1011101

二进制和十六进制的转换

二进制向十六进制转换时，四位转换成十六进制的一位，运算的顺序是从低位向高位依次进行，高位不足四位用零补。以“1110011”转换成十六进制为例，如下图所示：



图4：二进制转十六进制

转换的结果为：1001011101 = 0X25D

十六进制向二进制转换，就是把十六进制的一位转换成二进制的四位，注意运算的顺序是从低位向高位依次进行。同样以十六进制“0X25D”为例，如下图所示：



图5：十六进制转二进制