数据结构学习——线段树

线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。

采用一维数组来存储线段树中的节点元素，所以必须要有一种数学关系将输入的元素（最底层叶子元素）对应到线段树的上层节点。

自底向上建树。程序输入有m个数，这m其实就是线段树的叶子节点元素，但为了便于计算，将其扩大到2的幂，多出来的元素用不会影响程序的值的填充。

在2的基础上自底向上建树，得到的就是一个满二叉树，而根据数学中等比数列和及其通项公式之间的关系：若第k层有n个元素，则前k-1层有n-1个元素。所以，存储整个线段树的数组空间大小应为（2*n-1）。综合2、3，也就是有了常说的“线段树开4倍空间的说法”。

4.最后一层有n个元素，其中前m个是程序输入的数据，最后一层之前的共有n-1个元素，所以若是从0开始编号的话，最后一层自左向右第一个元素的编号为n-1,这也就是在更新函数update中有”k += n-1;”这句话的原因。

5.线段树在进行查询操作时，用query(a,b,0,0,n)，注意这里最后一个参数是n而不是m，因为在init操作中最后一层的元素已经由m变成了n个，区间编号0也应该对应[0,n)

线段树，根据节点中维护的数据的不同，线段树可以提供不同的功能。

节点维护区间最小值，用线段树求区间最小值：

import java.util.Random;
import java.util.Scanner;

public class Main {

public static int n;
public static int[] nums;

public static void init(int m){
n = 1;
while(n<m) n <<= 1;
for(int i=0;i<2*n-1;i++) nums[i] = Integer.MAX_VALUE;
}

public static void update(int k,int v){
k += n-1;//输入序列中的编号（最后一层）在一维数组中的下标对应
nums[k] = v;
while(k>0){
k = (k-1)/2;
nums[k] = Math.min(nums[k*2+1], nums[k*2+2]);
}
}

//递归查询
//[a,b)是待查询区间，[l,r)是当前所在区间，k为该区间的编号。
public static int query(int a,int b,int k,int l,int r){
if(a<=l&&r<=b) return nums[k];
else if(l>=b||r<=a) return Integer.MAX_VALUE;
else{
int m = l+(r-l)/2;
int left = query(a, b, l, m, k*2+1);
int right = query(a, b, m, r, k*2+2);
return Math.min(left, right);
}
//return Integer.MAX_VALUE;
}
public static void show(){
System.out.println("nums:");
for(int i=0;i<2*n-1;i++) System.out.print(nums[i]+" ");
System.out.println();
}
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner in = new Scanner(System.in);
Random rand = new Random();
while(in.hasNext()){
int m = in.nextInt();
nums = new int[m*4];
init(m);
int t;
for(int i=0;i<m;i++){
t = in.nextInt();
update(i, t);
}
//show();
//明确编号及其对应区间！
int ans = query(0 , 5 , 0, 0 , n);
System.out.println(ans);
}
}

}

note：

1.满二叉树：每一层都是满的（拥有全部元素，对应二叉树的性质——第k层，最多有2^(k-1)个节点）。

2.完全二叉树：树中除了最后一层，其余层都是满的；而且最后一层或者是满的，或者是在右边缺少连续的若干接点，即若对节点编号的话，应与满二叉树相对应。

3.树中父子节点编号的值对应关系（不必刻意去记忆，由于是规律，届时只需要画出二叉树的前两层，即可使用了）：

son(n):

当前节点编号为n，若树中节点编号是从0开始的，则其左子树根的节点编号为

2*n+1,右子树根的节点编号为2*n+2 ; 若树中节点编号是从1开始的，若根节点为n，则其左子树根的节点编号为2*n,右子树根的节点编号为2*n+1。

parent(n):

当前节点编号为n，若树中节点编号是从0开始的，则其父节点编号为（n-1)/2;若树中节点编号是从1开始的，则其父节点编号为n/2。

ps:程序中涉及到区间的时候，不论是STL、还是Java中的方法，采用的都是左闭右开区间。借鉴统一使用！