点乘和叉乘及其物理意义（C++STL实现）

一些错误观念的澄清，比如数学意义上的

点积

和

叉积

并不对应matlab程序中的

.*

(按位相乘)和

*

（矩阵乘法）

内积的物理意义

一种向量到标量的映射

两向量的夹角的计算

两向量是否正交的判断

两向量的相似性（similarity）的度量

叉积的意义

如何使用C++语言（STL容器，运算符重载）：

表示向量

计算内积

计算叉积

计算模长

计算两向量的夹角

计算点到直线的距离

prerequisites

内积（inner product）

又叫点乘，点积（dot product），数量积，顾名思义得到的是一个标量（scalar）。

代数定义

向量x=[x1,x2,…,xn]x=[x_1, x_2, \ldots, x_n]和y=[y1,y2,…,yn]y=[y_1, y_2, \ldots, y_n]的内积定义为：

x⋅y=∑inxiyi=x1y1+x2y2+⋯+xnyn
x\cdot y=\sum_i^nx_iy_i=x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n

也即：内积等于向量的对应位相乘再相加，如果从函数的观点来看的话，即是两个矢量相互作用得到一个标量。

内积对相互作用的两个向量x,yx,y的长度也即各自所含元素的个数是没有限制的。这点不同于向量叉积，叉积所要的向量长度最高为3.

几何定义

欧式空间中，向量是一个同时拥有长度和方向的几何对象。向量xx的长度记为∥x∥\|x\|，两个向量的内积定义为：

x⋅y=∥x∥∥y∥cosθ
x\cdot y=\|x\|\|y\|cos\theta

θ\theta标识着两向量的夹角。可见当向量正交时，θ=90∘\theta = 90^\circ，x⋅y=0x\cdot y = 0。

当向量yy被归一化为长度为1的单位向量时，x⋅y=∥x∥cosθx\cdot y=\|x\|cos\theta，我们来考察x,yx,y均为二维的情形：



如上图所示，此时二者的内积表示的恰是其中一个向另外一个的投影，投影长度越小，说明二者的夹角越大，反之亦然。当两向量同时归一化为1时，此时内积的定义为：x⋅y=cosθx\cdot y = cos\theta，内积越大，说明两者夹角越小，也间接地说明两者也就越相似，故在许多机器学习的算法，常用余弦相似性来度量两特征向量的逼近程度。内积既然能够表征两向量的夹角，自然判断两向量是否正交（值为0）就更不在话下了。

叉积

又叫叉乘（cross product）或者外积，它的计算结果是一个向量而非标量。叉积所在的向量与参与运算的两个向量都正交，也即正交于原来的两个向两边所决定的平面，也即两向量所决定的平面的法向量可通过计算叉积的方式得以确定。当参与运算的两向量是平行的两个向量时，得到的叉积为0，也即可通过计算叉积的方式判断两向量是否平行。

代数定义

二维时

x×y=x1y2−x2y1
x\times y = x_1y_2-x_2y_1

三维时



根据如图的计算方法可得：

u×v====∣∣∣∣iu1v1ju2v2ku3v3∣∣∣∣(u2v3i+u3v1j+u1v2k)−(u3v2i+u1v3j+u2v1k)(u2v3−u3v2)i+(u3v1−u1v3)j+(u1v2−u2v1)k(u2v3−u3v2,u3v1−u1v3,u1v2−u2v1)\begin{eqnarray}
\begin{split}
\textbf{u}\times \textbf{v}=&
\begin{vmatrix}
\textbf {i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\
u_1 & u_2 & u_3 \\
v_1 & v_2 & v_3
\end{vmatrix}\\
=&(u_2v_3\textbf{i}+u_3v_1\textbf{j}+u_1v_2\textbf{k})-(u_3v_2\textbf{i}+u_1v_3\textbf{j}+u_2v_1\textbf{k})\\
=&(u_2v_3-u_3v_2)\textbf{i}+(u_3v_1-u_1v_3)\textbf{j}+(u_1v_2-u_2v_1)\textbf{k}\\
=&(u_2v_3-u_3v_2, u_3v_1-u_1v_3, u_1v_2-u_2v_1)
\end{split}
\end{eqnarray}

几何定义

x×y=∥x∥∥y∥sinθn⃗
x\times y = \|x\|\|y\|sin\theta \vec{n}

n⃗ \vec{n}表示叉积方向上的单位向量。

中学知识告诉我们三角形的面积计算公式为：

S=∥x∥∥y∥sinθ2=∥z∥h2S=\dfrac{\|x\|\|y\|sin\theta}{2}=\dfrac{\|z\|h}{2}

其中θ\theta表示的是x,yx, y之间的夹角，由以上两个公式我们可得到

三角形的高

或者

点到其所对的边的距离

，也即点到直线的距离，的计算公式：

h=∥x×y∥/∥z∥
h=\|x\times y\|/\|z\|

C++ STL实现

向量的定义：

typedef vector<double> Vec;

矩阵减法

Vec operator-(const Vec& x, const Vec& y)
{
assert(x.size() == y.size());
// #include <cassert>
Vec tmp;
for(size_t i = 0; i < x.size(); ++i)
tmp.push_back(x[i] - y[i]);
return tmp;         // 返回局部变量的拷贝
}

内积和叉积的定义

为了形式的简单，我们在C++中以

*

表示内积，以

^

表示叉积，分别对二者进行运算符重载：

double operator*(const Vec& x, const Vec& y)
{
assert(x.size() == y.size());       // #include <cassert>
double sum = 0.;
for (size_t i = 0; i < x.size(); ++i)
sum += x[i]*y[i];
return sum;
}

// 三维的情况
Vec operator^(const Vec& x, const Vec& y)
{
assert(x.size() == y.size() && x.size() == 3);
return Vec{x[1]*y[2]-x[2]*y[1],
x[2]*y[0]-x[0]*y[2],
x[0]*y[1]-x[1]*y[0]};
// uniform initialization, C++11新特性
}

// 二维就姑且返回其模长吧
double twoDCrossProd(const Vec& x, const Vec& y)
{
return x[0]*y[1]-x[1]*y[0];
}

模长或者范数的计算

double norm(const Vec& x)
{
double val = 0.;
for(auto elem: x)
val += elem*elem;
return sqrt(val);
// #include <cmath>
}

向量夹角的计算

#define PI 3.14159265358979323846
// 弧长向弧度的转换
double toDegree(double val)
{
return val*180/PI;
}

double angle(const Vec& x, const Vec& y)
{
return toDegree(acos(x*y/norm(x)/norm(y)));
// x*y, 计算二者的内积
}

点到直线的距离

// x0, x1, x2 分别表示三角形的三个顶点的坐标
// 这里计算的是点x0到x1和x2构成的直线的距离
double distance(const Vec& x0, const Vec& x1, const Vec& x2)
{
return twoDCrossProd(x1-x0, x2-x0)/norm(x1-x2);
}

客户端程序：

int main(int, char**)
{
Vec x{1, 0, 0}, y{0, 1, 0};
Vec z = x^y;        // 计算叉乘
copy(z.begin(), z.end(), ostream_iterator<double>(cout, " "));
cout << endl;
// 0 0 1

Vec alpha{1, 0}, beta{1, 1};
cout << angle(alpha, beta) << endl;
// 45

Vec x0{0, 0}, x1{1, 0}, x2{0, 1};
cout << distance(x0, x1, x2) << endl;
// 1/sqrt(2)
return 0;
}