最长递增子串(LIS)算法_严格单调递增_单调递增_连续_不连续
2015-10-23 09:32
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最长递增子串问题总结
分类
最长递增子串(LIS),可以按照以下两个属性——是否严格单调递增,是否连续,分成四类:
1.(严格单调递增,连续)
2.(非严格单调递增,连续)
3.(严格单调递增,不连续)
4.(非严格单调递增,不连续)
算法:
情况1,2比较简单,一重循环,可以在O(n)的时间内解决
情况3:
对于每一个num[i],搜素停在末尾或者>=num[i]的第一个元素的位置处,如果停在dp[b]>=num[i]处,就更新该值,否则,增加找到的的子串的长度。
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int LIS(vector<int> num)
{
vector<int> dp;
dp.push_back(num[0]);
for(int i=1;i<num.size();++i)
{
int b=0,e=dp.size()-1;
while(b<e)
{
<span style="color:#cc0000;"> int mid=(b+e)/2;
if (dp[mid] >= num[i])
e = mid;
else
b = mid+1;</span>
}
<span style="background-color: rgb(204, 0, 0);"> if(dp[b]>=num[i])
dp[b]=num[i];
else
dp.push_back(num[i]);</span>
}
return dp.size();
}
情况4:
对应每一个num[i],搜索停在末尾或者dp[b]>num[i]处,如果dp[b]>num[i],则更新dp[b],否则增加最长的子串的长度,并加入 num[i]到末尾
<span style="color:#222222;">#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int LIS(vector<int> num)
{
vector<int> dp;
dp.push_back(num[0]);
for(int i=1;i<num.size();++i)
{
int b=0,e=dp.size()-1;
while(b<e)
{
int mid=(b+e)/2;
if (dp[mid] > num[i])
e = mid;
else
b = mid + 1;
}
</span><span style="color:#ff0000;background-color: rgb(255, 204, 0);">if(dp[b]>num[i])dp[b]=num[i];
else dp.push_back(num[i]);</span><span style="color:#222222;">
}
return dp.size();
}</span>
情况3,4的复杂多均为O(NlogN),其中N体现在外层的循环上,logN是由于折半查找的复杂度。
note:
此外,还有一种动态规划的解法,计算包含节点i的子串的长度,复杂多为O(N^2),递推公式如下
f(0)=1;
f(i)=max{f(j)|num[j]<num[i],0<=j<i}+1;
分类
最长递增子串(LIS),可以按照以下两个属性——是否严格单调递增,是否连续,分成四类:
1.(严格单调递增,连续)
2.(非严格单调递增,连续)
3.(严格单调递增,不连续)
4.(非严格单调递增,不连续)
算法:
情况1,2比较简单,一重循环,可以在O(n)的时间内解决
情况3:
对于每一个num[i],搜素停在末尾或者>=num[i]的第一个元素的位置处,如果停在dp[b]>=num[i]处,就更新该值,否则,增加找到的的子串的长度。
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int LIS(vector<int> num)
{
vector<int> dp;
dp.push_back(num[0]);
for(int i=1;i<num.size();++i)
{
int b=0,e=dp.size()-1;
while(b<e)
{
<span style="color:#cc0000;"> int mid=(b+e)/2;
if (dp[mid] >= num[i])
e = mid;
else
b = mid+1;</span>
}
<span style="background-color: rgb(204, 0, 0);"> if(dp[b]>=num[i])
dp[b]=num[i];
else
dp.push_back(num[i]);</span>
}
return dp.size();
}
情况4:
对应每一个num[i],搜索停在末尾或者dp[b]>num[i]处,如果dp[b]>num[i],则更新dp[b],否则增加最长的子串的长度,并加入 num[i]到末尾
<span style="color:#222222;">#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int LIS(vector<int> num)
{
vector<int> dp;
dp.push_back(num[0]);
for(int i=1;i<num.size();++i)
{
int b=0,e=dp.size()-1;
while(b<e)
{
int mid=(b+e)/2;
if (dp[mid] > num[i])
e = mid;
else
b = mid + 1;
}
</span><span style="color:#ff0000;background-color: rgb(255, 204, 0);">if(dp[b]>num[i])dp[b]=num[i];
else dp.push_back(num[i]);</span><span style="color:#222222;">
}
return dp.size();
}</span>
情况3,4的复杂多均为O(NlogN),其中N体现在外层的循环上,logN是由于折半查找的复杂度。
note:
此外,还有一种动态规划的解法,计算包含节点i的子串的长度,复杂多为O(N^2),递推公式如下
f(0)=1;
f(i)=max{f(j)|num[j]<num[i],0<=j<i}+1;
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