数据结构笔记（1）散列表

在很多应用中，都要用到一种动态集合结构，它仅支持insert、search、delete字典操作。如计算机程序语言设计的编译程序中需要维护一个符号表，其中元素的关键字值为任意字符串，与语言中的标识符相对应。实现字典的一种有效数据结构为散列表（hash table）。在最坏的情况下，在散列表中，查找一个元素和在链表中查找一个元素的时间相同，最坏的情况都是Θ(n)。但是在实践中，散列技术的效率实际上是很高的，在一些合理的假设下，在散列表中查找一个元素的期望时间为O(1)。下面介绍几种常用的散列表和散列技术：

1. 直接寻址表

当关键字的全域U比较小时，直接寻址是一种简单有效的技术。假设存在动态集合D,其中每个元素都来自全域U={0,1，……m-1}的关键字，m是一个不大的数，假设任意两个元素关键字都不相同。为表示动态集合D，我们用一个直接寻址表（数组）T[0…，m-1]，其中每个位置k对应全域U的一个关键字。如果集合中没有关键字为k的元素T[k]=null.



动态集合的元素也可以放在直接寻址表中，在c++中通过malloc申请空间，获取基地址，k作为偏移量加基地址构成内存地址。

直接寻址表也存在明显的问题：（1）如果U很大，在有计算机内存容量限制的条件下，产生一张直接内存表不太实际。（2）如果关键字集合K相对U很小，那么分配的空间就会很大部分被浪费掉。

2、散列表

当存储在字典中的关键字集合K比所可能的关键字域小的对视，散列表需要存储的空间比直接寻址要少好多。

在直接寻址方式瞎，具有关键字k的元素被存放在槽k中。在散列方式下，该元素处于h（k）中，即利用散列函数h，根据关键字k计算出槽的位置.

函数h将关键字域U映射到[0,……m-1]的槽位上：

h:U->{0,1……，m-1}



但是这样做也会碰到一个问题：两个关键字可能会映射到同一个槽上，我们将这种情况称为碰撞（collision）。而碰撞的产生给查找删除等带来了难度，所以我们需要办法来解决碰撞。当然最理想的方法是完全避免碰撞但是由于|U|>m,即必有两个元素的散列关键值k相同，所以想完全避免碰撞是不可能的。所以一方面我们可以研究解决碰撞带来问题的方法，另一方面，通过精心设计的随机散列函数尽可能的减少碰撞。

下面我们首先介绍一种最简单的碰撞解决技术，链接法。在后文我们还将介绍其他的碰撞解决方法。

链接法解决碰撞

在链接法中，把散列到同一个槽的所有元素都放在一个链表中。槽中有一个指针，它指向所有散列到该槽中的元素说构成的链表的头，如果没有元素，该槽为null.



由于每次插入元素都是在表头插入，所以插入操作的最坏运行时间为O(1)，删除操作运行的时间与表的长度成正比。

对用链接法散列的分析

给定一个能存放n个元素，具有m个槽位的散列表T，定义装载因子a为n/m即一个链中平均存储的元素数。

链表法散列的最坏情况性功能很差，如n个元素都在同一个槽位中，那么就与普通的链表在查找上没有太大区别，显然，我们并不会因为散列最坏情况下性能差而不去使用它。

散列的平均性态取决于所选取的散列函数h在一般情况下，将所有关键字分布在m个槽位上的均匀程度。假设任何元素散列到m个槽位中的可能性都是相同的，且与其他元素散列到什么位置上是无关的，称这个假设为 简单一致散列

对于j=0,1,2……，m−1，列表T[j]的长度用nj表示，这样有n=n0+n1+……nm−1

nj的平均期望值为E[nj]=a=n/m

定理 对于一个链接技术解决碰撞的散列表，在简单一致散列的假设下，一次不成功查找的期望时间为Θ（1+a），对于一次成功查找来说情况略有不同。

在简单一致散列假设下，对用链接技术解决碰撞的散列表，平均情况下一次成功查找也需要Θ（1+a）时间

证明：

假设要查找的关键字表中存放的n个关键字任何一个的可能性都是相同的。对于元素x的一次成功查找中，所检查的元素比x前面的元素多1.为了确定所查找元素期望数目，对在x之后插入表中的期望加1，再取平均。设xi表示插入到表中的第i个元素，i=1,2……n，并设ki=key[xi].对于关键字ki和kj,定义指示器随机变量Xij=I{h(ki)=h(kj)},在简单一致散列假设条件下Pr{h(ki)=h(kj)}=1/m,有此E[Xij]=1/m.所以在一次成功的查找中，所检查元素的期望为



这一结论说明散列表中的槽数与表中的元素数成正比，n=O(m),从而a=n/m=O(m)/m=O(1),说明平均查找操作需要常数量时间，从而散列表所有操作都可以在O(1)内完成。

3.散列函数

在这里我们介绍三种散列函数的设计方案。

好的散列函数特点

一个好的散列函数应该满足简单一致散列假设：每个关键字都可能散列到m个槽位的的任意一个中去，并且与被散列到哪个槽位中无关。

然而，一般情况下并不太可能检查这一条件是否成立，而且个关键字之间不可能完全独立。在实践中常常用启发式的技术来构造好的散列函数。

将关键字解释为自然数

多数散列函数都是假定关键字域为自然数集N={0,1,2⋅⋅⋅}.如果关键字域不是自然数，必须想办法将它解释成自然数。如pt在ASCII码中为112,116则pt=(112*128)+116=14452.在任意给定应用中，通常比较容易设计出类似的方法将每个关键字解释为自然数。在后面的内容中，假定所给的关键字都是自然数。

散列函数设计

（1）除法散列法

在用来设计散列函数的除法散列法中，通过k除以m的语数，来将关键字k映射到m个槽中的某一个去，亦即，散列函数为：h(k)=k mod m

这种方法只需要一次除法操作所以比较快。

注意：当应用除法散列时，要注意m的选择。例如m最好不应该为2的幂，如果m=2p,则h(k）就是k的p个低位数字。除非我们事先知道，关键字的概率分布使得k的各种最低位p的排列方式尽可能相同。

（2）乘法散列法

构造散列函数的乘法方法包含两个步骤。第一步用关键字k乘上常数A（0<A<1）,并且抽取kA的小数部分。然后用m乘以这个值，再取结果的底。总之，散列函数为h(k)=⌊m(kA mod 1)⌋,其中kA mod 1即为kA的小数部分，亦即kA−⌊kA⌋。

乘法方法的一个优点是对m的选择没什么要求，一般选择它的2为底的某个幂次（m=2p,p为某个整数）。因为我们可以在大多数计算机上很简单的实现散列函数。假设计算机的字长为w位，而k刚好可以容于一个字中。使A为形如s/2w的一个分数，其中s是一个取自0<s<2w中的整数，参照下图先用w位整数s=A∗2w乘上k，其结果为2w位的r12w+r0,其中r1为乘积的高位字，r0为乘积的低位字。所求的p位散列值中包含了r0的p个最高有效位。



虽然这个方法对任何A值都适用，但对某些值效果特别好。最佳的选择与待散列的数据的特征有关Knuth认为A=(5√−1)/2 = 0.6180339887⋅⋅⋅就是一个比较理想的值。

（3 ）全域散列

任何一个特定的散列函数都可能出现最坏的情况性态：唯一有效的改进方法是随机的选择散列函数，使之独立于存储的关键字。这种方法称为全域散列（universal hashing）,不管选择怎样的关键字，其平均性态都很好。

全域散列的基本思想是在执行开始时，就从一族仔细设计的函数中，随机选择一个作为散列函数，就像在快速排序中一样，随机化保证了没有哪一种输入会始终导致最坏情况性态。同时随机化使得即使对同一个输入，算法在每一次执行的性态也不一样，这样就可以确保对于任何输入，算法都有较好的平均性态。

设Η为有限的一组散列函数，将给定的关键字域U映射到{0,1⋅⋅⋅,m−1}中。这样的一组函数称为全域的，如果对于每一个不同的关键字k,l∈U,满足h(k)=h(l)的散列函数h∈H的个数最多为|H|/m。换言之，如果从H中随机选择一个散列函数，当关键字k≠l时，两者碰撞的概率不大于1/m,这也正好是从集合{0,1…，m-1}中随机的独立的选择h(l)和h(k)时发生碰撞的概率。从下面的定理中我们可以知道，全域散列函数类的平均性态还是比较好的。

定理 如果h选自一组全域的散列函数，并将n个关键词散列到一个大小为m的，用链接法解决碰撞的表T中。如果关键字k不在表中，则k被散列到其中链表的期望长度E[nh(k)]至多为a.如果关键字k在表中，则包含k关键字的链表的期望长度E[nh(k)]至多为1+a



n/m=a

4.开放寻址法解决碰撞问题

在开放寻址法中，所有的元素都存放在散列表里。亦即，每个表项要么包含一个元素，要么为空。当检查一个元素时要检查所有的表项，知道找到所需要的元素，或者发现元素不在表中。散列表可能会被填满，但装载因子a绝对不会超过1。

开放寻址法的好处是不需要指针，而是计算出要存取的各个槽，由于不使用指针而节省了空间可以放更多的槽，潜在效果就是减少碰撞，提高查找速度。

在开放寻址法中插入一个元素时，可以连续的探查散列表的各项，直到找到空槽插入关键字为止检查的顺序不一定是0,1，…m-1（这种顺序下查找时间为Θ(n)）,而是依赖于待插入的关键字。为了确定要探查哪些槽，我们将散列函数加以扩充，使之包含探查号（从0开始）以作为其第二个输入的参数。这样散列函数就变为h:U×{0,1,⋅⋅⋅}→{0,1,2,⋅⋅⋅,m−1}对于开放寻址法来说要求每一个关键字k,探查序列<h(k,0),h(k,1)⋅⋅⋅,h(k,m−1)>,必须是<0,1,…，m-1>,使得当散列表逐渐填满时，每一个表位最终可以被视为用来插入新关键字的槽。

插入算法伪代码

HASH-INSERT(T,k)
{
int i=0;
while(i<=m)
{
int j=h(k,i);
if(T[j]=null)
{
T[j]=k;
return j;
break;
}else i++;
if(i=m) error(hash table overflow)
}
}

查找算法伪代码

HASH-INSERT(T,k)
{
int i=0;
while (T[j]&&i<m)
{
j=h(k,i);
if (T[j]=k)
{
return j;
break;
}else i++;
}
return null;
}

在开放寻址法中，对散列元素的删除操作执行起来比较困难。所以在必须删除关键字的应用中往往使用链表法解决碰撞。

开放寻址的探查技术

在我们的分析中，做一个一致散列的假设，即假设每个关键字的探查序列是<0,1,⋅⋅⋅m−1>的m!种排列的人以一种可能性是相同的。一致散列将前面的简单一致散列加以概化，推广到散列函数的结果不只是一个数，而是一个完整的探查序列的情形。然而在现实中真正的一致散列是很难实现的，在实践中，常常采用近似的方法如：线性探查，二次探查，双重探查。在这三种技术中双重散列能产生的探查序列数最多，因而能给出好的结果。

线性探查

给定一个普通的散列函数h′:U→ {0,1,⋅⋅⋅,m−1}（称为线性辅助散列函数），线性探查法采用的散列函数为h(k,i)=h′(k)+i) mod m i=0,1,⋅⋅⋅m−1给定一个关键字k,第一个探查的槽为T[h′(k)],亦即由散列辅助函数所给出的槽，接下来探查的是T[h′(k)+1],直到槽T[m−1],然后绕回到槽T[0]……，直到槽T[h′(k)−1]结束。线性探查中，初始探查位置确定了整个序列，故只有m种不同的探查序列。

线性探查的方法比较容易实现，但存在一个问题，称作一次群集。随着时间的推移，被连续占用的槽不断增加，平均查找时间随着不断增加。群集现象很容易出现，这是应为当一个空槽前有i个满的槽时，该空槽为下一个将被占用的槽的概率为(i+1)/m。连续被占用的槽的序列会越变越长，因而平均查找的时间也会随之增加。

二次探查

二次探查采用如下形式的散列函数：h(k,i)=(h′(k)+c1i+c2i2) mod m其中h′是一个辅助函数c1,c2(≠0)为辅助常数，i=0,1,2…m-1初始的探查位置为T[h′(k)],后续的探查位置要在此基础上加上一个偏移量，偏移量一二次的形式依赖于探查号i，这种探查方法的效果要比线性探查好很多，但是为了能够充分利用散列表，c1、c2和m的值要受到限制。此外，如果两个关键字的初始探查位置相同，那么他们的探查序列也是相同的，这是因为h(k1,0)=h(k2,0)蕴含着h(k1,i)=h(k2,i)。这一性质导致较轻的群集现象，称为二次群集。如线性探查一样，初始探查决定整个序列。

因此只有m中探查序列被用到了。

双重散列

双重散列是用于开放寻址的最好方法之一，因为它所产生的排列具有随机选择排列的许多特性，采用 如下形式的散列函数：h(k,i)=(h1(k)+i h2(k)) mod m其中h1,h2为辅助散列函数。初始探查位置为T[h1(k)],后续的探查位置在此基础上加上偏移量h2(k)并模m。与线性和线性二次探查不同的是，这里的探查序列以两种方式依赖于关键字k,因为初始探查位置、偏移量都可能发生变化。

为了能查找整个散列表，值h2(k)要与表的大小m互质。确保这一条件总是成立的一种方法是取m为2的幂，并设计一个总是产生奇数的h2。另一种方法是取m为质数，并设计一个总是产生较m小的正整数的h2。例如：我们可以取m为质数，并取h1(k)=k mod m , h2(k)=1+(k mod m′)其中m′略小于m。

举例如下：



双重散列法下的插入。此处散列表的大小为13，h1(k)=k mod 13,h2(k)=1+k mod 11。因为14=1（mod 13），且14=（3 mod 11）,故探查槽1和槽5，并且发现它们被占用后14就被插入槽9中。

双重散列法中共用了Θ（m2）种探查序列，而线性探查或者二次探查中用了Θ（m）种，故前者是对后者的一种改进。这种改进的原因在于，对每一种可能的(h1(k),h2(k))都产生了不同的探查序列，因而双重散列与理想的一致散列性能看起来就很近了。

对于开放寻址散列的分析

假定散列是一致的，给定一个装载因子a=n/m<1的开放寻址散列表：

（1）在一次不成功的查找中，期望的探查次数至多为1/(1-a)。

（2）平均情况下，向开放寻址散列表里插入一个元素需要探查的次数至多为1/(1-a)

（3）一次成功查找的期望探查数至多为1aln11−a

散列就介绍道这里，还有许多东西并没有完全展现出来，但最重要的是能够灵活的使用散列，从而带来更高的效率。

参考文献

《算法导论》 Tomas H.Cormen