写一个函数，计算0到n之间2的个数 （1-9的个数）

题目

写一个函数，计算0到n之间2的个数。

解答

最简单直观的方法就是对于0到n之间的数，一个个地去统计2在它们上出现的个数， 然后累加起来即可。求2在某个数上出现的次数需要O(logn)的时间，一共有n个数， 所以共需要O(nlogn)的时间。

代码如下：

1234567891011121314151617

int Count2(int n){ int count = 0; while(n > 0){ if(n%10 == 2) ++count; n /= 10; } return count;} int Count2s1(int n){ int count = 0; for(int i=0; i<=n; ++i) count += Count2(i); return count; }

上述方法最大的问题就是效率，当n非常大时，就需要很长的运行时间。 想要提高效率，就要避开暴力法，从数字中找出规律。对于这道题， 《编程之美》已经给出了很漂亮的解法，这里再简述一下。假设一个5位数N=abcde，我们现在来考虑百位上出现2的次数，即，从0到abcde的数中， 有多少个数的百位上是2。分析完它，就可以用同样的方法去计算个位，十位，千位， 万位等各个位上出现2的次数。当百位c为0时，比如说12013，0到12013中哪些数的百位会出现2？我们从小的数起， 200~299, 1200~1299, 2200~2299, … , 11200~11299, 也就是固定低3位为200~299，然后高位依次从0到11，共12个。再往下12200~12299 已经大于12013，因此不再往下。所以，当百位为0时，百位出现2的次数只由更高位决定， 等于更高位数字(12)x当前位数(100)=1200个。当百位c为1时，比如说12113。分析同上，并且和上面的情况一模一样。 最大也只能到11200~11299，所以百位出现2的次数也是1200个。上面两步综合起来，可以得到以下结论：

1 2	当某一位的数字小于2时，那么该位出现2的次数为：更高位数字x当前位数

当百位c为2时，比如说12213。那么，我们还是有200~299, 1200~1299, 2200~2299, … , 11200~11299这1200个数，他们的百位为2。但同时，还有一部分12200~12213， 共14个(低位数字+1)。所以，当百位数字为2时， 百位出现2的次数既受高位影响也受低位影响，结论如下：

12	当某一位的数字等于2时，那么该位出现2的次数为：更高位数字x当前位数+低位数字+1

当百位c大于2时，比如说12313，那么固定低3位为200~299，高位依次可以从0到12， 这一次就把12200~12299也包含了，同时也没低位什么事情。因此出现2的次数是： (更高位数字+1)x当前位数。结论如下：

1 2	当某一位的数字大于2时，那么该位出现2的次数为：(更高位数字+1)x当前位数

根据上面得出的3条结论，我们可以编写出代码如下：

12345678910111213141516171819202122232425262728

int Count2s(int n){ int count = 0; int factor = 1; int low = 0, cur = 0, high = 0; while(n/factor != 0){ low = n - (n/factor) * factor;//低位数字 cur = (n/factor) % 10;//当前位数字 high = n / (factor*10);//高位数字 switch(cur){ case 0: case 1: count += high * factor; break; case 2: count += high * factor + low + 1; break; default: count += (high + 1) * factor; break; } factor *= 10; } return count;}

如果我们把问题一般化一下：写一个函数，计算0到n之间i出现的次数，i是1到9的数。 这里为了简化，i没有包含0，因为按以上的算法计算0出现的次数， 比如计算0到11间出现的0的次数，会把1，2，3，4…视为01，02，03，04… 从而得出错误的结果。所以0是需要单独考虑的，为了保持一致性，这里不做讨论。 将上面的三条结论应用到这就是：

1 2 3 4

当某一位的数字小于i时，那么该位出现i的次数为：更高位数字x当前位数 当某一位的数字等于i时，那么该位出现i的次数为：更高位数字x当前位数+低位数字+1 当某一位的数字大于i时，那么该位出现i的次数为：(更高位数字+1)x当前位数

代码如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

int Countis(int n, int i){ if(i<1 || i>9) return -1;//i只能是1到9 int count = 0; int factor = 1; int low = 0, cur = 0, high = 0; while(n/factor != 0){ low = n - (n/factor) * factor;//低位数字 cur = (n/factor) % 10;//当前位数字 high = n / (factor*10);//高位数字 if(cur < i) count += high * factor; else if(cur == i) count += high * factor + low + 1; else count += (high + 1) * factor; factor *= 10; } return count; }

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