Best Cow Line

标签： C++  最小字母串  排序 贪心 

起因：因为作业要求需要在http://poj.org/上解决题目，无聊又瞎做了一题：3617题Best Cow Line，想了一下写一个函数自我嵌套就解决了，看了网上别人的代码觉得好烦好乱，于是晒出来交流交流。

问题：大意是要求对一个字母串重新排列使得新串的字典序最小，比如原来的字母串S1=“ACDBCB”重排后为S2=“ABCBCD”。

题目中给了重排的方法：每次取S1的头或尾字母，择其小者添加到S2的后面，直到取完。

疑惑：

刚拿到题目马上就有几个问题需要解决了：

1.什么是字典序最小的字母串？

2.为什么这样的重排方法可以得到最小的字母串？

3.如何实现题目中给出的重排方法？

4.还有其他方法可以得到最小字母串吗？又如何实现？

思考：

1.最小字母串是对一个给定的字符集来说，它的所有排列中按字典序排最小的那些字母串。这里涉及到两个字符串的比较大小，从头比到尾，只要有一次比出了大小，后面就不用比了。也就是说如果s1<s2,当且仅当存在下标m,s1[m]<s2[m],并且s1[k]=s2[k](k<m)。

2.这是一个最优化问题，对给定的N个字母组成的字符串，要得到最小的字母串，最直接的就是全部一口气从小到大排序，冒泡、选择、擂台、二分、快速……这样得到必然是最小的字母串，时间复杂度在n^2到n*logn之间。也就是说题目中给出的方法得到的并不是真正的最小字母串，因为对于原字符串S1=“ACDBCB”来说，按我理解的最小字母串的定义，最小的应该是“ABBCCD”，而不是S2=“ABCBCD”。

那么为什么采用这种方法呢？它基于局部最优的思想，目光只局限在头尾，只要知道头尾哪个最小就认为拿到了最小的字母，开心地放到新的字母串去，这种贪图局部最优化的思想被叫作贪心思想，它放弃全局最优的宏图伟业，企图换来时间上的优势，同时也能得到相对较优的结果。另外，像是两头队列这种出入限制的情形。

3.既然这个思想如此形象：目光只需要关注S1的头尾，你只要告诉我S1的头尾哪个比较小，我就傻乎乎地取走哪个，一点不在乎它是不是全局最小的，那么我就用代码来模拟这个思想的过程。

既然我们需要关注S1的头尾，就定义两个下标int head=0,tail=N-1;表示S1
的头尾。

同时我们还需要有人来告诉我们当前S1的头尾是哪一个比较小，这个人就是一个函数compa，我们告诉他S1，head，tail，它就返回一个整数，如果是0，就说明head这个位置比较小，如果是1，就说明tail这个位置比较小。

由于S1有了，head和tail已经有了初值，我们马上可以去问那个人哪个比较小了？

int compa（char S1[],int head,int tail）{

//如果s1[head]<s1[tail],告诉全世界是head这个位置比较小，返回0;如果大呢？就返回1

if(s1[head]<s1[tail]) return 0;

if(s1[head]>s1[tail]) return 1;

//关键就在于如果头尾相等怎么办呢？随便选一个吗？不行，因为贪心的想法还没满足呢，必须比出一个较小的来我们才罢休，既然这里问不出较小的是哪个，那就继续问下去，再问一遍函数compa，这就出现函数的自身嵌套了，马上一个警告给自己，函数嵌套别忘了明确终止条件，即什么时候嵌套结束，不能无限嵌套。很明显，最坏的情况是我们一路问下去，后面的头尾都是相等的，也就是出现tail-head<3，这就可以随便选一个了，我们就任性取头好了。

if(tail-head<3) return 0;    

return compa(S1[],head++,tail--);

}

给出完整代码吧,很简洁的20行代码，去掉输入字符串的语句和常规语句，核心的也就不到10行，相比那些大量使用跳转、判断、flag的代码更显精致和思路清晰。

完整代码

#include <iostream>

using namespace std;

int compa(char c[],int i,int j){
if(c[i]<c[j])return 0;
if(c[i]>c[j])return 1;
if(j-i<3)return 0;

  return compa(c,i+1,j-1);

}

int main(){
int N;cin>>N;
char* c;c=(char*)malloc(N*sizeof(char));
for(int i=0;i<N;i++)cin>>c[i];
int i=0,j=N-1,k=1;
while(j!=i){
if(compa(c,i,j))cout<<c[j--];
else cout<<c[i++];
if(!(k++%80)) cout<<endl; //题目要求隔80个换行输出
}
cout<<c[i];

return 0;

}

4.能得到全局最小字母串的算法肯定是排序算法了，那么还有其他局部最优的算法吗？最直接能想到的就是对这个贪心算法变形和改进。

我们首先来分析一下这个算法的性能。对N个字符的字母串，它的比较次数最坏是O(n^2),但这种情况是极端的，也就是全部相等，一个简单的衡量它时间复杂度的方法是计算N个字符中相同字符的比例，因为影响算法时间的就是因为相等造成的再比较。题目中字符只有A-Z这26个，那么相同的字符的期望是[2*C(2,N)+3*C(3,N)+……+N*C(N,N)]*26/26^(N)=(N*2^(N-1)-N)/26^(N-1)=O(0.077^(N-1))

也就是说，当N越大，它所需的时间成指数式的减少，这是相当可观的。

对于这个算法自然的变形就是不看头尾，从中间的两个数开始比较，不断往左右两边去比较；甚至按照某一规则从任意两个地方的数开始比较，按照这一规则不断选择下一对进行比较，比如开始时head=2，tail=N-3；每次比较后头总是往下走3位，尾巴总是往上走2位，直到相遇或走到边界。当然走到边界时你可以停止走下去，也可以设置为继续循环走回来，但是这时候要注意规则设置时不要出现头尾永远不能相遇的情形，即头尾走的步数应该是互质的。我们还可以继续变形，每次比较不仅仅只比两个数，而是比较三个数，四个数甚至更多，也就是进一步把局部比较的范围扩大，你会发现当你把范围扩大最大N个的时候，就是全局最优了，算法也就进化为排序算法了，而你从什么地方开始选择head、tail.....这些下标以及设置下标移动的规则，就会演变为不同类型的排序算法。

当然这个算法还可以退化，就是只看一个，也就是什么都不比，每次随便拿来一个字母就好，这个的时间复杂度显然最低O（N）。

总结：

对于N个符号的一维数组，一旦给定了数和数组间的某种序规则和最小序的概念，就有求最小序的需求和排序算法。从这题的思考中我们似乎看到了求最小序算法的进化历程，从不排序到各种局部排序再到全排序。其中影响算法时间复杂度的关键就在于下标的选择和移动规则，这说明合理的选择比较的位置和移动规则可以减少排序时间。注意到当我们选择局部排序时，也同样涉及到如何从局部字符中找出最小的字符的问题，相当于局部的全排序。

我脑子中排序的概念是知道了有限数组每个元素的序关系，如何建立元素和整数0~N-1的一一对应关系，这样拿到一个字符就直接把它放到对应的位置就好。这和给出的序关系的形式有关，如果给出的序关系的形式就是一个和已知序关系的一一映射，那么问题已经解决；如果所有元素的序关系是通过两两元素的序关系给出的，这就是经典的排序算法中通过两两比较来解决问题。

那么对于一个只有A~Z的字符串S1
，事实上已经建立了整数x:0~25的对应关系,也就是x=S1[i]-'A'

只要有newc[26]
,ind
={0}，就可以直接放进来newc[S1[i]-'A'][ind[S1[i]-'A']++]=S1[i]

而事实上计算机所进行的排序问题，几乎都是和已知的序关系建立了一一映射的，如果能明确的表达出这层关系就可以直接放进来，而能否明确表达出这一映射关系，取决于是否事先知道数组中的上下界。关键信息越多，所能解决问题的效率当然越高。另外如果没有足够的空间，仅仅限制在N个位置的空间上，这就是那些经典的排序算法了，它需要考虑如何挪空间。