Fibonacci数列几种不同的编程实现方法

Fibonacci数列：http://baike.baidu.com/link?url=MSUG79bXOIuyMT8SkGsXdh3mGxYhlun_srlBZVFwcgrNPcL8VulHhdDOClNwJzNJ0W4rlpdyxeiOi9kTBoORt_

 

　　描写了动物滋生数量、植物花序改变等大措施则。作为一个经典的数学识题，Fibonacci数列常作为例子展目前途序设计、数据构造与算法等多个相干学科中。

　　下面容易地分析一下常见的Fibonacci数列求解算法。

　　1、递归法。大多数教材在解说递归算法时总迷恋以Fibonacci数列为例，这是因为我们能够直观地从定义公式的第三行看出Fibonacci数列的递归性。其C++告终如下：

unsigned long Fib(int n)
{
if (n <= 1) {
return n;
} else {
return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
}
}

　　递归算法与定义公式极其合乎，草带会意，但计算过程存在许多重复的计算，工夫混杂度到达了O(2^n)，利用的内存空间也随着函数调用栈的增长而增长。这显明难受于实用的过程。

　　2、表驱动的递归法。这里不提单纯的表驱动法，因为对于项数未知的Fibonacci数列开启***的空间来换取工夫未免不划算且不负责。我们只是为了肃清递归法中许多重复的计算，能够将曾经计算过的其中值存入一个表，已备后续利用：

#define MAX_LOG 20
static unsigned long Logs[MAX_LOG] = {0};
unsigned long Fib(int n)
{
if (n <= 1) {
return n;
} 

else if (n < MAX_LOG && Logs
!= 0) {
return Logs
;
} 

else {
Logs
= Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
return Logs
;
}
}

　　当n小于保留的表长时，由于每个其中值只计算顺次，工夫混杂度降为O(n)。但随着n的增大，要想坚持O(n)的工夫混杂度，就定然放大保留的表长，这就构成了存储空间的浪费。

　　3、迭代法。求Fibonacci数列第n项时固然要用到前面两项的值，但它们仅作为临时计算的其中值，不作为收获输出，因而无保留的必需，全面能够改换成迭代法求解：

unsigned long Fib(int n)
{
int i;
unsigned long a = 0,tiffany b = 1, c;
if (n <= 1) {
return n;
} 

else {
for (i = 2; i <= n; i++) {
c = a + b;
a = b;
b = c;
}
return c;
}
}

　　迭代法的工夫混杂度为O(n)，利用的内存空间也不会动态递升。个人感受Fibonacci数列更轻便作为迭代法而非递归法的典例展目前教材上。

　　下面给出两种数学性较强的算法。琢磨到表白的简明性，用Matlab告终：

　　4、迁移矩阵法。此措施等闲见于线性代数中的Markov过程示例。Fibonacci数列第n项与第n-1项能够穿越迁移矩阵的n-1次迭代求出： 

　　代码如下：

function y = Fib(n)
first = [1; 0];
trans = [1 1; 1 0];
last = trans ^ (n - 1) * first;
y = last(1, 1);
end

　　此算法的工夫混杂度相当于计算矩阵乘方的工夫混杂度。在计算2阶矩阵n次方时，万一直接按矩阵乘法定义式展开，不加尤其优化，那工夫混杂度为O(n)。

　　5、通项公式法。Fibonacci数列的通项公式如下（验证略）： 

　　利用通项公式能够获得Fibonacci数列的任何项：

function y = Fib(n)
sr5 = sqrt(5);
y = uint32((((1 + sr5) / 2) ^ n - ((1 - sr5) / 2) ^ n) / sr5);
end

　　该措施的工夫混杂度传神为O(1)，但我们还该当琢磨乘方计算的工夫花费。不加尤其优化时，用乘法告终n次乘方的工夫混杂度为O(n)。琢磨到浮点数计算效率和精度问题，此措施在计算机告终时不及迁移矩阵法。

　　下面再给出两种对计算机告终有尤其含义，但同时有定然局限性的告终措施（只是告终措施，不能称为新的算法）。其中利用了一些C++编程技巧，对利用其它语言告终也有定然的参看价值：

　　6、模板元编程法。等闲我们在C++中利用模板，仅限于类模板与函数模板。事实上C++扶持模板元编程，理论上能够在编译时厉行任何计算（甚至包括抉择、循环、递归等构造）。代码如下：

#define Fib(N) FibT<N>::Val
template<int n> struct FibT
{
enum
{
Val = FibT<n - 1>::Val + FibT<n - 2>::Val
};
};
template<> struct FibT<0>
{
enum
{
Val = 0
};
};
template<> struct FibT<1>
{
enum
{
Val = 1
};
};

　　我们用一个构造体作为模板的载体，用一个枚举值保留计算收获。其中第一个模板为大约递归过程（利用递归算法是为打听释的轻便，全面能够用其它算***换，以加速编译过程），后两个模板为n=0、1时的模板特化。穿越#define语句将模板调用简写成相仿函数调用的措施。过程在编译时计算所需的Fibonacci数列项，将收获作为常量嵌入编译好的过程。运行时直接利用收获，工夫混杂度恳挚地变成了O(1)。但这一措施最大的局限即便只能对常量嵌入，过程中揭示诸如计算Fib(i++)的情形则无能为力。尽管如此，这比在代码中手工计算并写入所需的值要直观准确，比穿越单纯的表驱动法“空间换时间”要得体迅捷。

　　7、函数对象法。此措施重要用于C++ STL编程的通用算法方面，其厉行行动也有别于以上其它措施：

class Fib
{
public:
Fib() : a(0), b(1), n(0)
{
}
unsigned long operator()()
{
if (n <= 1) {
n++;
return n - 1;
} 

else {
int c;
c = a + b;
a = b;
b = c;
return c;
}
}
private:
int a, b, n;
};

　　这个函数类对象的行动能够会意为一个“Fibonacci数列发生器”，其测验性调用如下，过程将顺次打印

void test(int i)
{
Fib fib;
do {
cout << fib() << endl;
} while (i--);

}

　　函数对象具有与函数指针相仿的行动，同时又能保留切身的一些属性，因而常用于STL通用算法编程。但针对个体的Fibonacci数列项求值，灵便性不及等闲的措施。