已知两圆圆心坐标及半径求两圆交点 (C语言|参数方程求解)

已知两圆圆心坐标及半径求两圆交点 (C语言|参数方程求解)

在一个二维平面上给定两个圆的圆心横纵坐标、半径共6个参数, 求交点. 这个问题无非是解二元二次方程组.普通二元二次方程联立消元求解的困难在于, 中间过程里的系数会变得非常复杂, 从而导致容易出错—因为公式毕竟还是要人来推导,人的出错率比计算机要高得多得多—改用圆的参数方程求解, 可以在显著地减轻这个负担.

现在谈谈这问题的求解过程. 选择圆的参数方程的好处是方程是一次的, 化简方便, 虽然是三角函数方程并且既有正弦也有余弦, 不过到最后可以很方便地求出来.

(下面分析中x^y表示x的y次方)

大家还记得圆的参数方程吧, 圆心 (x0, y0), 半径为 r 的圆的参数方程是:

x = r * cosθ + x0

y = r * sinθ + y0

假设现在两圆参数x1, y1, r1, x2, y2, r2(这些分别表示, 咳, 有谁看不出来它们分别表示什么吗?), 设交点为 (x, y), 代入其中一个圆中的参数方程有

x = r1 * cosθ + x1 且 y = r1 * sinθ + y1

代入另一圆的标准方程, 得到

(r1 * cosθ + x1 - x2)^2 + (r1 * sinθ + y1 - y2)^2 = r2^2

是的, 看起来有关于正余弦二次项, 不过不要惊慌, 展开合并同类项之后, 正好这两项会合并成常数:

左边 = (r1 * cosθ)^2 + (r1 * sinθ)^2 + 2 * r1 * (x1 - x2) * cosθ + 2 * r1 * (y1 - y2) * sinθ

= r2^2 - (x1 - x2)^2 - (y1 - y2)^2 = 右边

这样就好办了, 把 r1^2 转移到等式右边, 令:

a = 2 * r1 * (x1 - x2)

b = 2 * r1 * (y1 - y2)

c = r2^2 - r1^2 - (x1 - x2)^2 - (y1 - y2)^2

那么方程便成为:

a * cosθ + b * sinθ = c

用 (1 - (cosθ)^2)^(1 / 2) 表示sinθ, 令：

p = a^2 + b^2

q = -2 * a * c

r = c^2 - b^2

便化为一个一元二次方程, 解得:

cosθ = (±(q^2 - 4 * p * r)^(1 / 2) - q) / (2 * p)

然而到此为止还没有结束, 因为刚才将三角方程转化为二次方程时, 等式两边平方了一次, 如果直接这样求对应角的正弦值, 符号总会为正.为了将纵坐标正确解出, 必须变角. 那么如何变角？方法当然很多, 诱导公式, 或者反过头去把方程变一下, 以正弦作为未知数,但是这些方法都比较复杂. 在这里可以选择另一种方案, 那就是用验证代替求解: 验证所得的解是不是根, 如果不是, 将纵坐标反号便可以了.最后注意一下两解的横坐标相同的情况, 这样要先输出正的再输出负的.

下面上代码
#include<math.h> // sqrt fabs

// 点
struct point_t {
double x, y;
};

// 圆
struct circle_t {
struct point_t center;
double r;
};

// 浮点数判同
int double_equals(double const a, double const b)
{
static const double ZERO = 1e-9;
return fabs(a - b) < ZERO;
}

// 两点之间距离的平方
double distance_sqr(struct point_t const* a, struct point_t const* b)
{
return (a->x - b->x) * (a->x - b->x) + (a->y - b->y) * (a->y - b->y);
}

// 两点之间的距离
double distance(struct point_t const* a, struct point_t const* b)
{
return sqrt(distance_sqr(a, b));
}

/*
* 两圆相交函数
* 参数:
*    circles[0] 和 circles[1] 分别是两个圆.
*    points[0] 和 points[1] 用来存放交点数值, 虽然有些情况下两个不都会用上;
*        如果用到了两个交点, 那么返回后, 横坐标大的在前, 如果横坐标一样, 则纵坐标大的在前.
* 返回值:
*    -1 如果两个圆一模一样;
*    其它整数值: 交点个数.
*/
int insect(struct circle_t circles[], struct point_t points[])
{
double d, a, b, c, p, q, r; // a, b, c, p, q, r 与上面分析中的量一致
double cos_value[2], sin_value[2]; // 交点的在 circles[0] 上对应的正余弦取值
// 余弦值 cos_value 就是分析中的 cosθ
if (double_equals(circles[0].center.x, circles[1].center.x)
&& double_equals(circles[0].center.y, circles[1].center.y)
&& double_equals(circles[0].r, circles[1].r)) {
return -1;
}

d = distance(&circles[0].center, &circles[1].center); // 圆心距离
if (d > circles[0].r + circles[1].r
|| d < fabs(circles[0].r - circles[1].r)) {
return 0;
}

a = 2.0 * circles[0].r * (circles[0].center.x - circles[1].center.x);
b = 2.0 * circles[0].r * (circles[0].center.y - circles[1].center.y);
c = circles[1].r * circles[1].r - circles[0].r * circles[0].r
- distance_sqr(&circles[0].center, &circles[1].center);
p = a * a + b * b;
q = -2.0 * a * c;

// 如果交点仅一个
if (double_equals(d, circles[0].r + circles[1].r)
|| double_equals(d, fabs(circles[0].r - circles[1].r))) {
cos_value[0] = -q / p / 2.0;
sin_value[0] = sqrt(1 - cos_value[0] * cos_value[0]);

points[0].x = circles[0].r * cos_value[0] + circles[0].center.x;
points[0].y = circles[0].r * sin_value[0] + circles[0].center.y;

// 在这里验证解是否正确, 如果不正确, 则将纵坐标符号进行变换
if(!double_equals(distance_sqr(&points[0], &circles[1].center),
circles[1].r * circles[1].r)) {
points[0].y = circles[0].center.y - circles[0].r * sin_value[0];
}
return 1;
}

r = c * c - b * b;
cos_value[0] = (sqrt(q * q - 4.0 * p * r) - q) / p / 2.0;
cos_value[1] = (-sqrt(q * q - 4.0 * p * r) - q) / p / 2.0;
sin_value[0] = sqrt(1 - cos_value[0] * cos_value[0]);
sin_value[1] = sqrt(1 - cos_value[1] * cos_value[1]);

points[0].x = circles[0].r * cos_value[0] + circles[0].center.x;
points[1].x = circles[0].r * cos_value[1] + circles[0].center.x;
points[0].y = circles[0].r * sin_value[0] + circles[0].center.y;
points[1].y = circles[0].r * sin_value[1] + circles[0].center.y;

// 验证解是否正确, 两个解都需要验证.
if (!double_equals(distance_sqr(&points[0], &circles[1].center),
circles[1].r * circles[1].r)) {
points[0].y = circles[0].center.y - circles[0].r * sin_value[0];
}
if (!double_equals(distance_sqr(&points[1], &circles[1].center),
circles[1].r * circles[1].r)) {
points[1].y = circles[0].center.y - circles[0].r * sin_value[1];
}
// 如果求得的两个点坐标相同, 则必然其中一个点的纵坐标反号可以求得另一点坐标
if (double_equals(points[0].y, points[1].y)
&& double_equals(points[0].x, points[1].x)) {
if(points[0].y > 0) {
points[1].y = -points[1].y;
} else {
points[0].y = -points[0].y;
}
}
return 2;
}

NP 问题的启示

NP 问题教导我们, 验证比求解要简单! 虽然这一道题, 无论怎么看, 都是一个普通的 P 问题, 但是我们还是可以贯彻这一思想, 用最简易的手法获得答案.

一个完整的程序:

[cpp] view plaincopy
<span style="font-family:SimSun;">#include<stdio.h>
#include<math.h>

struct point_t {
double x, y;
};

struct circle_t {
struct point_t center;
double r;
};

int double_equals(double const a, double const b)
{
static const double ZERO = 1e-9;
return fabs(a - b) < ZERO;
}

double distance_sqr(struct point_t const* a, struct point_t const* b)
{
return (a->x - b->x) * (a->x - b->x) + (a->y - b->y) * (a->y - b->y);
}

double distance(struct point_t const* a, struct point_t const* b)
{
return sqrt(distance_sqr(a, b));
}

int insect(struct circle_t circles[], struct point_t points[])
{
double d, a, b, c, p, q, r;
double cos_value[2], sin_value[2];
if (double_equals(circles[0].center.x, circles[1].center.x)
&& double_equals(circles[0].center.y, circles[1].center.y)
&& double_equals(circles[0].r, circles[1].r)) {
return -1;
}

d = distance(&circles[0].center, &circles[1].center);
if (d > circles[0].r + circles[1].r
|| d < fabs(circles[0].r - circles[1].r)) {
return 0;
}

a = 2.0 * circles[0].r * (circles[0].center.x - circles[1].center.x);
b = 2.0 * circles[0].r * (circles[0].center.y - circles[1].center.y);
c = circles[1].r * circles[1].r - circles[0].r * circles[0].r
- distance_sqr(&circles[0].center, &circles[1].center);
p = a * a + b * b;
q = -2.0 * a * c;
if (double_equals(d, circles[0].r + circles[1].r)
|| double_equals(d, fabs(circles[0].r - circles[1].r))) {
cos_value[0] = -q / p / 2.0;
sin_value[0] = sqrt(1 - cos_value[0] * cos_value[0]);

points[0].x = circles[0].r * cos_value[0] + circles[0].center.x;
points[0].y = circles[0].r * sin_value[0] + circles[0].center.y;

if (!double_equals(distance_sqr(&points[0], &circles[1].center),
circles[1].r * circles[1].r)) {
points[0].y = circles[0].center.y - circles[0].r * sin_value[0];
}
return 1;
}

r = c * c - b * b;
cos_value[0] = (sqrt(q * q - 4.0 * p * r) - q) / p / 2.0;
cos_value[1] = (-sqrt(q * q - 4.0 * p * r) - q) / p / 2.0;
sin_value[0] = sqrt(1 - cos_value[0] * cos_value[0]);
sin_value[1] = sqrt(1 - cos_value[1] * cos_value[1]);

points[0].x = circles[0].r * cos_value[0] + circles[0].center.x;
points[1].x = circles[0].r * cos_value[1] + circles[0].center.x;
points[0].y = circles[0].r * sin_value[0] + circles[0].center.y;
points[1].y = circles[0].r * sin_value[1] + circles[0].center.y;

if (!double_equals(distance_sqr(&points[0], &circles[1].center),
circles[1].r * circles[1].r)) {
points[0].y = circles[0].center.y - circles[0].r * sin_value[0];
}
if (!double_equals(distance_sqr(&points[1], &circles[1].center),
circles[1].r * circles[1].r)) {
points[1].y = circles[0].center.y - circles[0].r * sin_value[1];
}
if (double_equals(points[0].y, points[1].y)
&& double_equals(points[0].x, points[1].x)) {
if (points[0].y > 0) {
points[1].y = -points[1].y;
} else {
points[0].y = -points[0].y;
}
}
return 2;
}

int main()
{
struct circle_t circles[2];
struct point_t points[2];
printf("请输入两圆x，y，半径(以逗号分开)：");
while (EOF != scanf("%lf,%lf,%lf,%lf,%lf,%lf",
&circles[0].center.x, &circles[0].center.y, &circles[0].r,
&circles[1].center.x, &circles[1].center.y, &circles[1].r)) {
switch (insect(circles, points)) {
case -1:
printf("THE CIRCLES ARE THE SAME/n");
break;
case 0:
printf("NO INTERSECTION/n");
break;
case 1:
printf("(%.3lf %.3lf)\n", points[0].x, points[0].y);
break;
case 2:
printf("(%.3lf %.3lf) (%.3lf %.3lf)\n",
points[0].x, points[0].y,
points[1].x, points[1].y);
}
}
return 0;
}
</span>