神经网络

一、简单介绍

作为深度学习的基础。下面展示了只有两层的神经网络和具有一个隐层的神经网络。







上面的网络展示了一个只有两层的net，输出使用了线性的输出的方式。ANN当中对于线性的输出进行了进一步的变换使用了sigmoid函数对其进行了非线性变换。



上述$Net(i)$的定义为第i个神经元的所有输入的加权和，即

$Net(i)=\sum_{j=1}^{4}w_{j,i}*x_{j,i}$

这里的$w_{j,i}$的定义是第i个神经元的第j个输入的权重，相应的输入是$x_{j,i}$

sigmoid函数的定义如下：

$sigmoid(net(i))=\frac{e^{net(i)}}{1+e^{net(i)}}$

二、推导

如何对神经网络进行训练，我们定义损失函数为

$E=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}(label_{i}-O_{i})^{2}$

我们尝试使用梯度下降法对它进行优化，从而得到所有的权值。

$\frac{\partial{E}}{\partial{w_{j,i}}}$

根据上面的介绍，实际上$w_{j,i}$是通过$net(i)$作用于后面的整个网络的，所以先对$net(i)$求偏导

$\frac{\partial{E}}{\partial{w_{j,i}}} = \frac{\partial{E}}{\partial{net(i)}} \frac{\partial{net(i)}}{\partial{w_{j,i}}}$

由于net(i)是$w_{j,i}$的函数，于是

$\frac{\partial{net(i)}} {\partial{w_{j,i}}}=x_{j,i}$

现在问题变成了如何来求$\frac{\partial{E}}{\partial{net(i)}}$

分为两种情况来考虑。

第一种：当前神经元对应的是输出层

和上面思考的方式类似，$net(i)$是通过后面的sigmoid函数作用于整个网络的，所以

$\frac{\partial{E}}{\partial{net(i)}} = \frac{\partial{E}}{\partial{O_{i}}} \frac{\partial{O_{i}}}{\partial{net(i)}}$

上面的O_{i}实际上就是sigmoid函数的输出值，关于sigmoid函数的求导有一个非常有意思的地方，它的导数就是他的输出的函数，即

$\frac{\partial{O_{i}}}{\partial{net(i)}} = O_{j}*(1-O_{j})$

从损失函数可以得到

$\frac{\partial{E}}{\partial{O_{i}}} = t_{i}-O_{i}$

这样我们得到了上面的偏导数

我们定义这个偏导数为$\delta(i)$

第二种：当前神经元对应的是隐层

如果是隐层，类似于上面的分析$net(i)$是通过后面的sigmoid函数的输出作用于整个网络的，这里和前面的不同时可能有多个输出。