神经网络

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概述

以监督学习为例，假设我们有训练样本集 

 ，那么神经网络算法能够提供一种复杂且非线性的假设模型 

 ，它具有参数 

 ，可以以此参数来拟合我们的数据。

为了描述神经网络，我们先从最简单的神经网络讲起，这个神经网络仅由一个“神经元”构成，以下即是这个“神经元”的图示：





这个“神经元”是一个以 

 及截距 

 为输入值的运算单元，其输出为 

 ，其中函数 

 被称为“激活函数”。在本教程中，我们选用sigmoid函数作为激活函数 




可以看出，这个单一“神经元”的输入－输出映射关系其实就是一个逻辑回归（logistic regression）。

虽然本系列教程采用sigmoid函数，但你也可以选择双曲正切函数（tanh）：



以下分别是sigmoid及tanh的函数图像



 




 函数是sigmoid函数的一种变体，它的取值范围为 

 ，而不是sigmoid函数的 

 。

注意，与其它地方（包括OpenClassroom公开课以及斯坦福大学CS229课程）不同的是，这里我们不再令 

 。取而代之，我们用单独的参数 

 来表示截距。

最后要说明的是，有一个等式我们以后会经常用到：如果选择 

 ，也就是sigmoid函数，那么它的导数就是 

 （如果选择tanh函数，那它的导数就是 

 ，你可以根据sigmoid（或tanh）函数的定义自行推导这个等式。

神经网络模型

所谓神经网络就是将许多个单一“神经元”联结在一起，这样，一个“神经元”的输出就可以是另一个“神经元”的输入。例如，下图就是一个简单的神经网络：





我们使用圆圈来表示神经网络的输入，标上“

”的圆圈被称为偏置节点，也就是截距项。神经网络最左边的一层叫做输入层，最右的一层叫做输出层（本例中，输出层只有一个节点）。中间所有节点组成的一层叫做隐藏层，因为我们不能在训练样本集中观测到它们的值。同时可以看到，以上神经网络的例子中有3个输入单元（偏置单元不计在内），3个隐藏单元及一个输出单元。

我们用 

 来表示网络的层数，本例中 

 ，我们将第 

 层记为 

 ，于是 

 是输入层，输出层是 

 。本例神经网络有参数 

 ，其中 

（下面的式子中用到）是第 

 层第 

 单元与第 

 层第 

 单元之间的联接参数（其实就是连接线上的权重，注意标号顺序）， 

 是第 

 层第 

 单元的偏置项。因此在本例中， 

 ， 

 。注意，没有其他单元连向偏置单元(即偏置单元没有输入)，因为它们总是输出 

。同时，我们用 

 表示第 

 层的节点数（偏置单元不计在内）。

我们用 

 表示第 

 层第 

 单元的激活值（输出值）。当 

 时， 

 ，也就是第 

 个输入值（输入值的第 

 个特征）。对于给定参数集合 

 ，我们的神经网络就可以按照函数 

 来计算输出结果。本例神经网络的计算步骤如下：



我们用 

 表示第 

 层第 

 单元输入加权和（包括偏置单元），比如， 

 ，则 

 。

这样我们就可以得到一种更简洁的表示法。这里我们将激活函数 

 扩展为用向量（分量的形式）来表示，即 

 ，那么，上面的等式可以更简洁地表示为：



我们将上面的计算步骤叫作前向传播。回想一下，之前我们用 

 表示输入层的激活值，那么给定第 

 层的激活值 

 后，第 

 层的激活值 

 就可以按照下面步骤计算得到：



将参数矩阵化，使用矩阵－向量运算方式，我们就可以利用线性代数的优势对神经网络进行快速求解。

目前为止，我们讨论了一种神经网络，我们也可以构建另一种结构的神经网络（这里结构指的是神经元之间的联接模式），也就是包含多个隐藏层的神经网络。最常见的一个例子是 

层的神经网络，第 

 层是输入层，第 

 层是输出层，中间的每个层 

 与层 

 紧密相联。这种模式下，要计算神经网络的输出结果，我们可以按照之前描述的等式，按部就班，进行前向传播，逐一计算第 

 层的所有激活值，然后是第 

 层的激活值，以此类推，直到第 

 层。这是一个前馈神经网络的例子，因为这种联接图没有闭环或回路。

神经网络也可以有多个输出单元。比如，下面的神经网络有两层隐藏层： 

 及 

 ，输出层 

 有两个输出单元。





要求解这样的神经网络，需要样本集 

 ，其中 

 。如果你想预测的输出是多个的，那这种神经网络很适用。（比如，在医疗诊断应用中，患者的体征指标就可以作为向量的输入值，而不同的输出值 

 可以表示不同的疾病存在与否。）

中英文对照

neural networks 神经网络

activation function 激活函数

hyperbolic tangent 双曲正切函数

bias units 偏置项

activation 激活值

forward propagation 前向传播

feedforward neural network 前馈神经网络(参照Mitchell的《机器学习》的翻译)

中文译者

孙逊（sunpaofu@foxmail.com），林锋（xlfg@yeah.net），刘鸿鹏飞（just.dark@foxmail.com）, 许利杰（csxulijie@gmail.com）