算法系列（一） Google方程式

用计算机穷举所有的解

以上是用人的思维方式的解题过程，如果方法正确，加上运气好（三次假设都是正 确的，避免在错误分支上浪费时间），两分钟内就可得到结果。但是考虑到更通用的情况，字母数字 没有规律，也没有可供分析的入手点和线索，比如：

AAB – BBC = CCD

这样的问题，该什么方法解决呢？只能“猜想”，用穷举的方法试探每一种猜想，对每个 字母和数字穷举所有可能的组合，直到得到正确的结果。当然，这样的力气活交给计算机做是最合适 不过了。

1. 建立数学模型

要想让计算机解决问题，就要让计算机能够 理解题目，这就需要建立一个计算机能够识别、处理的数学模型，首先要解决的问题就是建立字母和 数字的映射关系的数学模型。本题的数学模型很简单，就是一个字母二元组：{char, number}。考察 等式：

WWWDOT - GOOGLE = DOTCOM

共出现了9个不同的字母：W、D、O、T、G、L、E、C 和M，因此，最终的解应该是9个字母对应的字母二元组向量：[ {'W', 7}, {'D', 5}, {'O', 8}, {'T', 9}, {'G', 1}, {'L', 0}, {'E', 3}, {'C', 4}, {'M', 6} ]。穷举算法就是对这个字母二元组向量中每个字母二元 组的number元素进行穷举，number的穷举范围就是0－9共10个数字，当然，根据题目要求，有一些字 符不能为0，比如W、G和D。排列组合问题的穷举多使用多重循环，看样子这个穷举算法应该是9重循环
了，在每层循环中对一个字母进行从0到9遍历。问题是，必须这样吗，对于更通用的情况，不是9个字 母的问题怎么办？首先思考一下是否每次都要遍历0－9。题目要求每个字母代表一个数字，而且不重 复，很显然，对每个字母进行的并不是排列，而是某种形式的组合，举个例子，就是如果W字母占用了 数字7，那么其它字母就肯定不是7，所以对D字母遍历是就可以跳过7。进一步，假设某次遍历的字母 二元组向量中除M字母外其它8个字母已经有对应的数字了，比如：

[ {'W', 7}, {'D', 5}, {'O', 8}, {'T', 9}, {'G', 1}, {'L', 0}, {'E', 3}, {'C', 4}, {'M', ?} ] （序列－1）

那么M的可选范围 就只有2和6，显然没必要使用9重循环。

现在换一种想法，对9个二元组的向量进行遍历，可以 分解为两个步骤，首先确定第一个二元组的值，然后对剩下的8个二元组进行遍历。显然这是一种递归 的思想（分治），算法很简单，但是要对10个数字的使用情况进行标识，对剩下的二元组进行遍历时 只使用没有占用标识的数字。因此还需要一个标识数字占用情况的数字二元组定义，这个二元组可以 这样定义：{number, using}，0－9共有10个数字，因此需要维护一个长度为10的数字二元组向量。数 字二元组向量的初始值是：

[{0, false}, {1, false},{2, false},{3, false},{4, false}, {5, false},{6, false},{7, false},{8, false},{9, false}] （序列－2）

每进行一重递归 就有一个数字的using标志被置为true，当字母二元组向量得到（序列－1）的结果时，对应的数字二 元组向量的值应该是：

[{0, true}, {1, true},{2, false},{3, true},{4, true},{5, true},{6, false},{7, true},{8, true},{9, true}] （序列－3）

此时遍历这个数字二元组 向量就可以知道M字母的可选值只能是2或6。

穷举遍历的结束条件是每层递归中遍历完所有 using标志是false的数字，最外一层遍历完所有using标志是false的数字就结束了算法。

根据 题目要求，开始位置的数字不能是0，也就是W、G和D这三个字母不能是0，这是一个“剪枝”条件，要 利用起来，因此，对字母二元组进行扩充成字母三元组，添加一个leading标志：{char, number, leading}。下面就是这个数学模型的C语言定义：

4 typedef struct
       
 5 {   
       
 6   char c;   
       
 7   int value;   
       
 8     bool leading;   
       
 9 }CharItem;   
       
10    
       
11 typedef struct
       
12 {   
       
13     bool used;   
       
14   int value;   
       
15 }CharValue;

根据此数学模型初始化字母三元组和数字二元组向量：

29    
       
  30     CharItem char_item[max_char_count] =   
       
  31         {   
       
  32           { 'W', -1, true  }, { 'D', -1, true  }, { 'O', -1, false },   
       
  33           { 'T', -1, false }, { 'G', -1, true  }, { 'L', -1, false },   
       
  34           { 'E', -1, false }, { 'C', -1, false }, { 'M', -1, false }   
       
  35         };   
       
  36    
       
  37     CharValue char_val[max_number_count] =   
       
  38         {   
       
  39           {false, 0}, {false, 1}, {false, 2}, {false, 3},   
       
  40           {false, 4}, {false, 5}, {false, 6}, {false, 7},   
       
  41           {false, 8}, {false, 9}   
       
  42         };   
       
  43

转载地址：http://www.bianceng.cn/Programming/sjjg/201404/41066.htm