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关于斐波那契数列三种解法及时间复杂度分析

2015-09-02 22:03 405 查看
斐波那契数列: f(n)=f(n-1)+f(n-2); n>=2

f(0)=0; f(1)=1;

即有名的兔子繁衍问题。

斐波那契数列共有三种解法,因而写这篇文章总结一下。

1. 递归求解

递归求解比较简单,是大家常见的一种解法。

int fibonacci(int n)
{
cout<<"calculating "<<n<<endl;
if (n<=0) {
return  0;
}
if (n==1) {
return 1;
}
return fb(n-1)+fb(n-2);
}


关于这种解法,不再赘述,下面主要说下时间复杂度分析。

设f(n)为参数为n时的时间复杂度,很明显:f(n)=f(n-1)+f(n-2)

这就转化为了数学上的二阶常系数差分方程,并且为其次方程。

即转化为了求f(n)的值,f(n)=f(n-1)+f(n-2)且f(0)=0; f(1)=1;

特征方程为:x^2-x-1=0

得 x=(1±√5)/2

因而f(n)的通解为:



由f(0)=0; f(1)=1可解得c_1,c_2

最终可得,时间复杂度为:



第一种解法比较简单,但是多个元素重复计算,因而时间复杂度较高,为了避免重复计算,可进行循环计算减少时间复杂度

int Fibonacci(int n) {
if (n<=0) {
return 0;
}
if (n==1) {
return 1;
}
int min=0;
int max=1;
int i=2;
int result=0;
while (i<=n) {
result=min+max;
min=max;
max=result;
++i;
}
return result;
}


第二种算法时间复杂度为O(n)

3. 还有一种时间复杂度更低的算法。

根据上面的递归公式,我们可以得到



因而计算f(n)就简化为了计算矩阵的(n-2)次方,而计算矩阵的(n-2)次方,我们又可以进行分解,即计算矩阵(n-2)/2次方的平方,逐步分解下去,由于折半计算矩阵次方,因而时间复杂度为O(log n)

具体代码实现如下:

//
//  main.cpp
//  fibonaccimatrix
//
//  Created by shunagao on 15/8/31.
//  Copyright © 2015年 shunagao. All rights reserved.
//

#include <iostream>
using namespace std;

class Matrix
{
public:
int n;
int **m;
Matrix(int num)
{
m=new int*[num];
for (int i=0; i<num; i++) {
m[i]=new int[num];
}
n=num;
clear();
}
void clear()
{
for (int i=0; i<n; ++i) {
for (int j=0; j<n; ++j) {
m[i][j]=0;
}
}
}
void unit()
{
clear();
for (int i=0; i<n; ++i) {
m[i][i]=1;
}
}
Matrix operator=(const Matrix mtx)
{
Matrix(mtx.n);
for (int i=0; i<mtx.n; ++i) {
for (int j=0; j<mtx.n; ++j) {
m[i][j]=mtx.m[i][j];
}
}
return *this;
}
Matrix operator*(const Matrix &mtx)
{
Matrix result(mtx.n);
result.clear();
for (int i=0; i<mtx.n; ++i) {
for (int j=0; j<mtx.n; ++j) {
for (int k=0; k<mtx.n; ++k) {
result.m[i][j]+=m[i][k]*mtx.m[k][j];
}
}
}
return result;
}
};
int main(int argc, const char * argv[]) {
unsigned int num=2;
Matrix first(num);
first.m[0][0]=1;
first.m[0][1]=1;
first.m[1][0]=1;
first.m[1][1]=0;
int t;
cin>>t;
Matrix result(num);
result.unit();
int n=t-2;
while (n) {
if (n%2) {
result=result*first;
}
first=first*first;
n=n/2;
}
cout<<(result.m[0][0]+result.m[0][1])<<endl;
return 0;
}
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标签:  c++