关于斐波那契数列三种解法及时间复杂度分析
2015-09-02 22:03
405 查看
斐波那契数列: f(n)=f(n-1)+f(n-2); n>=2
f(0)=0; f(1)=1;
即有名的兔子繁衍问题。
斐波那契数列共有三种解法,因而写这篇文章总结一下。
1. 递归求解
递归求解比较简单,是大家常见的一种解法。
关于这种解法,不再赘述,下面主要说下时间复杂度分析。
设f(n)为参数为n时的时间复杂度,很明显:f(n)=f(n-1)+f(n-2)
这就转化为了数学上的二阶常系数差分方程,并且为其次方程。
即转化为了求f(n)的值,f(n)=f(n-1)+f(n-2)且f(0)=0; f(1)=1;
特征方程为:x^2-x-1=0
得 x=(1±√5)/2
因而f(n)的通解为:
由f(0)=0; f(1)=1可解得c_1,c_2
最终可得,时间复杂度为:
第一种解法比较简单,但是多个元素重复计算,因而时间复杂度较高,为了避免重复计算,可进行循环计算减少时间复杂度
第二种算法时间复杂度为O(n)
3. 还有一种时间复杂度更低的算法。
根据上面的递归公式,我们可以得到
因而计算f(n)就简化为了计算矩阵的(n-2)次方,而计算矩阵的(n-2)次方,我们又可以进行分解,即计算矩阵(n-2)/2次方的平方,逐步分解下去,由于折半计算矩阵次方,因而时间复杂度为O(log n)
具体代码实现如下:
f(0)=0; f(1)=1;
即有名的兔子繁衍问题。
斐波那契数列共有三种解法,因而写这篇文章总结一下。
1. 递归求解
递归求解比较简单,是大家常见的一种解法。
int fibonacci(int n) { cout<<"calculating "<<n<<endl; if (n<=0) { return 0; } if (n==1) { return 1; } return fb(n-1)+fb(n-2); }
关于这种解法,不再赘述,下面主要说下时间复杂度分析。
设f(n)为参数为n时的时间复杂度,很明显:f(n)=f(n-1)+f(n-2)
这就转化为了数学上的二阶常系数差分方程,并且为其次方程。
即转化为了求f(n)的值,f(n)=f(n-1)+f(n-2)且f(0)=0; f(1)=1;
特征方程为:x^2-x-1=0
得 x=(1±√5)/2
因而f(n)的通解为:
由f(0)=0; f(1)=1可解得c_1,c_2
最终可得,时间复杂度为:
第一种解法比较简单,但是多个元素重复计算,因而时间复杂度较高,为了避免重复计算,可进行循环计算减少时间复杂度
int Fibonacci(int n) { if (n<=0) { return 0; } if (n==1) { return 1; } int min=0; int max=1; int i=2; int result=0; while (i<=n) { result=min+max; min=max; max=result; ++i; } return result; }
第二种算法时间复杂度为O(n)
3. 还有一种时间复杂度更低的算法。
根据上面的递归公式,我们可以得到
因而计算f(n)就简化为了计算矩阵的(n-2)次方,而计算矩阵的(n-2)次方,我们又可以进行分解,即计算矩阵(n-2)/2次方的平方,逐步分解下去,由于折半计算矩阵次方,因而时间复杂度为O(log n)
具体代码实现如下:
// // main.cpp // fibonaccimatrix // // Created by shunagao on 15/8/31. // Copyright © 2015年 shunagao. All rights reserved. // #include <iostream> using namespace std; class Matrix { public: int n; int **m; Matrix(int num) { m=new int*[num]; for (int i=0; i<num; i++) { m[i]=new int[num]; } n=num; clear(); } void clear() { for (int i=0; i<n; ++i) { for (int j=0; j<n; ++j) { m[i][j]=0; } } } void unit() { clear(); for (int i=0; i<n; ++i) { m[i][i]=1; } } Matrix operator=(const Matrix mtx) { Matrix(mtx.n); for (int i=0; i<mtx.n; ++i) { for (int j=0; j<mtx.n; ++j) { m[i][j]=mtx.m[i][j]; } } return *this; } Matrix operator*(const Matrix &mtx) { Matrix result(mtx.n); result.clear(); for (int i=0; i<mtx.n; ++i) { for (int j=0; j<mtx.n; ++j) { for (int k=0; k<mtx.n; ++k) { result.m[i][j]+=m[i][k]*mtx.m[k][j]; } } } return result; } }; int main(int argc, const char * argv[]) { unsigned int num=2; Matrix first(num); first.m[0][0]=1; first.m[0][1]=1; first.m[1][0]=1; first.m[1][1]=0; int t; cin>>t; Matrix result(num); result.unit(); int n=t-2; while (n) { if (n%2) { result=result*first; } first=first*first; n=n/2; } cout<<(result.m[0][0]+result.m[0][1])<<endl; return 0; }
相关文章推荐
- 使用C++实现JNI接口需要注意的事项
- 关于指针的一些事情
- c++ primer 第五版 笔记前言
- share_ptr的几个注意点
- Lua中调用C++函数示例
- Lua教程(一):在C++中嵌入Lua脚本
- Lua教程(二):C++和Lua相互传递数据示例
- C++联合体转换成C#结构的实现方法
- C++编写简单的打靶游戏
- C++ 自定义控件的移植问题
- C++变位词问题分析
- C/C++数据对齐详细解析
- C++基于栈实现铁轨问题
- C++中引用的使用总结
- 使用Lua来扩展C++程序的方法
- C++中调用Lua函数实例
- Lua和C++的通信流程代码实例
- C与C++之间相互调用实例方法讲解
- C++ Custom Control控件向父窗体发送对应的消息
- C++中拷贝构造函数的应用详解