Idiot 的乘幂

题目大意及模型转换

给定两个同余方程XA≡B(modP)，XC≡D(modP)。求方程小于P的解。其中GCD(A,C)=1,GCD(B,P)=1,GCD(D,P)=1。

暴力解法

枚举P以内的数代入验证。

一种思考

这个方程难解，不过我们可以考虑以下方程。

XA≡B(modP)

XA+1≡D(modP)

那么我们可以得到

BX≡D(modP)

显然两边同乘以B关于P的逆元B−1

就可以变为

X≡DB−1(modP)

因此，将原方程化为上面这样的方程，会比较好做。

更快的暴力

我们现在只需要解出ax-cy=1或cy-ax=1。

可以用辗转暴力法。

对于a和c，如果a>c变为a-c和c，否则变为a和c-a。由于保证了gcd(a,c)=1，因此最后a和c会变成相差为1。

扩展欧几里德解方程

上面那个方程实际上可以化为ax+cy=1，然后解出来后变为正数做快速幂搞搞搞。

首先我们来学习一下裴蜀定理。

对于a和b，gcd(a,b)=d。那么方程ax+by=d一定存在整数解。

先来个werkeytom感性理解证法。

我们设a′=ad,b′=bd,显然gcd(a′,b′)=1。

逆元大家都知道吧，互质的数互相存在逆元。

ax+by=d有解，那么肯定a′x+b′y=1也有解。

可以化为a′x≡1(mod b′)

那么就得证了。

扩展欧几里德算法就是用来解ax+by=d这样的方程。

具体算法步骤自行百度。

那么通过扩展欧几里德算法可以解出ax+cy=1这个方程，然后进行快速幂，最后化为相差为1的方程。求逆元也可以用扩展欧几里德算法。此题完美解决。

注意

最后得出的解要代入验证看是否是真的解（如果不是，则无解）。