斐波那契数列算法及时间复杂度分析

斐波那契数列算法及时间复杂度分析

斐波那契数列是一个很有意思的数列,应用领域非常广.

定义:

F(n+1)=F(n)+F(n-1)

有意思的是,F(n)/F(n+1)趋于黄金分割0.618.

如何计算斐波那契数呢?

最朴素的思想,利用定义.

算法1代码如下:

分析下算法复杂度:

T(n+1)=T(n)+T(n-1)=2*T(n-1)+T(n-2)=…=F(n)+F(n-1)=F(n+1)

由于直接递归调用,结果中的每一个1都来自最底层的F(1)和F(2),

那么为了求第n个数,就要调用F(n)次函数.

由于斐波那契数列是指数增长,所以该算法的时间复杂度也是指数增长,即O(2^n).

仔细想下,从头开始往后算,也不过是线性复杂度,比算法1好太多了.

于是得到算法2:

时间复杂度就是O(n).

求斐波那契数列的算法还能再快一些吗?

答案是肯定的.

算法3:

借助下图所示的结论:



我们求一个矩阵的n次方即可.

两个2维矩阵的乘法次数可以看作常量.

矩阵额n次方利用分治法,只需要O(lg n)的复杂度就能计算出来.

所以该算法的复杂度是O(lg n),比算法2又快了很多,特别是数字非常大的时候.

比如n从1亿变成4亿,算法2需要的时间要变成原来的四倍,但是算法3仅仅增加了个常数2(lg 4=2).

算法代码如下:

随手写了个测试程序对比它们的效率.

算法1计算n=42和算法2计算n=400 000 000所需的时间差不多.

由此可见,指数时间复杂度的算法太可怕…

但是算法3对于n=400 000 000也几乎一瞬间就算完了.