UVA1625 Color Length(附 刘汝佳代码)

这是刘汝佳《算法竞赛入门经典第二版》的一道例题，只看书上的解释并没有理解，随后结合着代码才理解了。

解题思路：用d[i][j]表示序列1移走i个元素和序列2移走j个元素的最小“代价”， 这个代价指的是由那些已经移出的字母合并而来的序列中已经出现但尚未结束的字母对总距离和的贡献。比如说一个合并而来的序列中有两个那样的字母，第一个在这个序列中后面有3个字母，另一个字母后面有2个字母，那么此时的代价就是2+3，表示这两个字母在这种合并情况下至少能为总距离和贡献5，因为随着向该序列后面添加字母，他们的贡献会增加，直到这两个字母不会再出现了。为了方便求这个“代价”，定义一个数组c[i][j],
表示序列1移走i个元素和序列2移走j个元素后合并的序列中有多少个已经出现但尚未结束的字母， 那么向前一步合并的字母中再添加一个字母后，这些字母的贡献都会加1，即新增加的代价就等于这些字母的个数。d[i][j]的值就是到该状态路径中各个c值的累加。

求c时，首先分别算出第1个序列和第2个序列中每个字母的第一次出现位置和最后一次出现位置，然后再递推求c: 如果该字母第一次出现就由前面一个值加1，如果该字母不再出现，就由前一个值减1得到，具体看代码。

在递推时，从i = 0和j = 0开始，每次只考虑从第1个序列或第2个序列中移出1个字母得到d[i][j]。状态转移方程：d[i][j] = min(d[i-1][j] + c[i-1][j], d[i][j-1] + c[i][j-1])。最后得到的值即为答案。

下面是刘汝佳的代码。（使用了滚动数组）

// UVa1625 Color Length
// Rujia Liu
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 5000 + 5;
const int INF = 1000000000;

char p[maxn], q[maxn]; // starts from position 1
int sp[26], sq[26], ep[26], eq[26]; // sp[i] start positions of character i in p
int d[2][maxn], c[2][maxn]; // 滚动数组 c[i][j]: how many "incomplete" colors in the mixed sequence

int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
while(T--)
{
scanf("%s%s", p+1, q+1);

int n = strlen(p+1);
int m = strlen(q+1);
for(int i = 1; i <= n; i++) p[i] -= 'A';
for(int i = 1; i <= m; i++) q[i] -= 'A';

// calculate s and e
for(int i = 0; i < 26; i++)
{
sp[i] = sq[i] = INF;
ep[i] = eq[i] = 0;
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
sp[p[i]] = min(sp[p[i]], i);
ep[p[i]] = i;
}
for(int i = 1; i <= m; i++)
{
sq[q[i]] = min(sq[q[i]], i);
eq[q[i]] = i;
}

// dp
int t = 0;
memset(c, 0, sizeof(c));
memset(d, 0, sizeof(d));
for(int i = 0; i <= n; i++)
{
for(int j = 0; j <= m; j++)
{
if(!i && !j) continue;

// calculate d
int v1 = INF, v2 = INF;
//计算d[i][j],  d[i][j]由d[i-1][j]或d[i][j-1]添加一个字母得到
if(i) v1 = d[t^1][j] + c[t^1][j]; // remove from p
if(j) v2 = d[t][j - 1] + c[t][j - 1]; // remove from q
d[t][j] = min(v1, v2);

// calculate c
if(i)
{
c[t][j] = c[t^1][j];
if(sp[p[i]] == i && sq[p[i]] > j) c[t][j]++;            //出现新的字母
if(ep[p[i]] == i && eq[p[i]] <= j) c[t][j]--;           //一个字母已经结束
}
else if(j)
{
c[t][j] = c[t][j - 1];
if(sq[q[j]] == j && sp[q[j]] > i) c[t][j]++;
if(eq[q[j]] == j && ep[q[j]] <= i) c[t][j]--;
}
}
t ^= 1;
}
printf("%d\n", d[t^1][m]);
}
return 0;
}