二叉堆 之 Java的实现

堆和二叉堆的介绍

堆的定义

堆(heap)，这里所说的堆是数据结构中的堆，而不是内存模型中的堆。堆通常是一个可以被看做一棵树，它满足下列性质：

[性质一] 堆中任意节点的值总是不大于(不小于)其子节点的值；

[性质二] 堆总是一棵完全树。

将任意节点不大于其子节点的堆叫做最小堆或小根堆，而将任意节点不小于其子节点的堆叫做最大堆或大根堆。常见的堆有二叉堆、左倾堆、斜堆、二项堆、斐波那契堆等等。

二叉堆的定义

二叉堆是完全二元树或者是近似完全二元树，它分为两种：最大堆和最小堆。

最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值；最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。示意图如下：



二叉堆一般都通过”数组“来实现。数组实现的二叉堆，父节点和子节点的位置存在一定的关系。有时候，我们将”二叉堆的第一个元素”放在数组索引0的位置，有时候放在1的位置。当然，它们的本质一样(都是二叉堆)，只是实现上稍微有一丁点区别。

假设”第一个元素”在数组中的索引为 0 的话，则父节点和子节点的位置关系如下：

(01) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);

(02) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+2);

(03) 索引为i的父结点的索引是 floor((i-1)/2);



假设”第一个元素”在数组中的索引为 1 的话，则父节点和子节点的位置关系如下：

(01) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i);

(02) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);

(03) 索引为i的父结点的索引是 floor(i/2);



注意：本文二叉堆的实现统统都是采用”二叉堆第一个元素在数组索引为0”的方式！

二叉堆的图文解析

图文解析是以”最大堆”来进行介绍的。

最大堆的核心内容是”添加”和”删除”，理解这两个算法，二叉堆也就基本掌握了。下面对它们进行介绍，其它内容请参考后面的完整源码。

1. 添加

假设在最大堆[90,80,70,60,40,30,20,10,50]种添加85，需要执行的步骤如下：



如上图所示，当向最大堆中添加数据时：先将数据加入到最大堆的最后，然后尽可能把这个元素往上挪，直到挪不动为止！

将85添加到[90,80,70,60,40,30,20,10,50]中后，最大堆变成了[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]。

最大堆的插入代码(Java语言)

/*
* 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
*     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
protected void filterup(int start) {
int c = start;            // 当前节点(current)的位置
int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置
T tmp = mHeap.get(c);        // 当前节点(current)的大小

while(c > 0) {
int cmp = mHeap.get(p).compareTo(tmp);
if(cmp >= 0)
break;
else {
mHeap.set(c, mHeap.get(p));
c = p;
p = (p-1)/2;
}
}
mHeap.set(c, tmp);
}

/*
* 将data插入到二叉堆中
*/
public void insert(T data) {
int size = mHeap.size();

mHeap.add(data);    // 将"数组"插在表尾
filterup(size);        // 向上调整堆
}

insert(data)的作用：将数据data添加到最大堆中。mHeap是动态数组ArrayList对象。

当堆已满的时候，添加失败；否则data添加到最大堆的末尾。然后通过上调算法重新调整数组，使之重新成为最大堆。

2. 删除

假设从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除90，需要执行的步骤如下：



如上图所示，当从最大堆中删除数据时：先删除该数据，然后用最大堆中最后一个的元素插入这个空位；接着，把这个“空位”尽量往上挪，直到剩余的数据变成一个最大堆。

从[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]删除90之后，最大堆变成了[85,80,70,60,40,30,20,10,50]。

注意：考虑从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除60，执行的步骤不能单纯的用它的字节点来替换；而必须考虑到”替换后的树仍然要是最大堆”！



二叉堆的删除代码(Java语言)

/*
* 最大堆的向下调整算法
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
*     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
*     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
protected void filterdown(int start, int end) {
int c = start;          // 当前(current)节点的位置
int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
T tmp = mHeap.get(c);    // 当前(current)节点的大小

while(l <= end) {
int cmp = mHeap.get(l).compareTo(mHeap.get(l+1));
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if(l < end && cmp<0)
l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1]
cmp = tmp.compareTo(mHeap.get(l));
if(cmp >= 0)
break;        //调整结束
else {
mHeap.set(c, mHeap.get(l));
c = l;
l = 2*l + 1;
}
}
mHeap.set(c, tmp);
}

/*
* 删除最大堆中的data
*
* 返回值：
*      0，成功
*     -1，失败
*/
public int remove(T data) {
// 如果"堆"已空，则返回-1
if(mHeap.isEmpty() == true)
return -1;

// 获取data在数组中的索引
int index = mHeap.indexOf(data);
if (index==-1)
return -1;

int size = mHeap.size();
mHeap.set(index, mHeap.get(size-1));// 用最后元素填补
mHeap.remove(size - 1);                // 删除最后的元素

if (mHeap.size() > 1)
filterdown(index, mHeap.size()-1);    // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆

return 0;
}

二叉堆的Java实现(完整源码)

二叉堆的实现同时包含了”最大堆”和”最小堆”。

二叉堆(最大堆)的实现文件(MaxHeap.java)

/**
* 二叉堆(最大堆)
*
* @author skywang
* @date 2014/03/07
*/

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class MaxHeap<T extends Comparable<T>> {

private List<T> mHeap;    // 队列(实际上是动态数组ArrayList的实例)

public MaxHeap() {
this.mHeap = new ArrayList<T>();
}

/*
* 最大堆的向下调整算法
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
*     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
*     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
protected void filterdown(int start, int end) {
int c = start;          // 当前(current)节点的位置
int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
T tmp = mHeap.get(c);    // 当前(current)节点的大小

while(l <= end) {
int cmp = mHeap.get(l).compareTo(mHeap.get(l+1));
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if(l < end && cmp<0)
l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1]
cmp = tmp.compareTo(mHeap.get(l));
if(cmp >= 0)
break;        //调整结束
else {
mHeap.set(c, mHeap.get(l));
c = l;
l = 2*l + 1;
}
}
mHeap.set(c, tmp);
}

/*
* 删除最大堆中的data
*
* 返回值：
*      0，成功
*     -1，失败
*/
public int remove(T data) {
// 如果"堆"已空，则返回-1
if(mHeap.isEmpty() == true)
return -1;

// 获取data在数组中的索引
int index = mHeap.indexOf(data);
if (index==-1)
return -1;

int size = mHeap.size();
mHeap.set(index, mHeap.get(size-1));// 用最后元素填补
mHeap.remove(size - 1);                // 删除最后的元素

if (mHeap.size() > 1)
filterdown(index, mHeap.size()-1);    // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆

return 0;
}

/*
* 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
*     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
protected void filterup(int start) {
int c = start;            // 当前节点(current)的位置
int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置
T tmp = mHeap.get(c);        // 当前节点(current)的大小

while(c > 0) {
int cmp = mHeap.get(p).compareTo(tmp);
if(cmp >= 0)
break;
else {
mHeap.set(c, mHeap.get(p));
c = p;
p = (p-1)/2;
}
}
mHeap.set(c, tmp);
}

/*
* 将data插入到二叉堆中
*/
public void insert(T data) {
int size = mHeap.size();

mHeap.add(data);    // 将"数组"插在表尾
filterup(size);        // 向上调整堆
}

@Override
public String toString() {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for (int i=0; i<mHeap.size(); i++)
sb.append(mHeap.get(i) +" ");

return sb.toString();
}

public static void main(String[] args) {
int i;
int a[] = {10, 40, 30, 60, 90, 70, 20, 50, 80};
MaxHeap<Integer> tree=new MaxHeap<Integer>();

System.out.printf("== 依次添加: ");
for(i=0; i<a.length; i++) {
System.out.printf("%d ", a[i]);
tree.insert(a[i]);
}

System.out.printf("\n== 最 大 堆: %s", tree);

i=85;
tree.insert(i);
System.out.printf("\n== 添加元素: %d", i);
System.out.printf("\n== 最 大 堆: %s", tree);

i=90;
tree.remove(i);
System.out.printf("\n== 删除元素: %d", i);
System.out.printf("\n== 最 大 堆: %s", tree);
System.out.printf("\n");
}
}

二叉堆(最小堆)的实现文件(MinHeap.java)

/**
* 二叉堆(最小堆)
*
* @author skywang
* @date 2014/03/07
*/

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class MinHeap<T extends Comparable<T>> {

private List<T> mHeap;        // 存放堆的数组

public MinHeap() {
this.mHeap = new ArrayList<T>();
}

/*
* 最小堆的向下调整算法
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
*     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
*     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
protected void filterdown(int start, int end) {
int c = start;          // 当前(current)节点的位置
int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
T tmp = mHeap.get(c);    // 当前(current)节点的大小

while(l <= end) {
int cmp = mHeap.get(l).compareTo(mHeap.get(l+1));
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if(l < end && cmp>0)
l++;        // 左右两孩子中选择较小者，即mHeap[l+1]

cmp = tmp.compareTo(mHeap.get(l));
if(cmp <= 0)
break;        //调整结束
else {
mHeap.set(c, mHeap.get(l));
c = l;
l = 2*l + 1;
}
}
mHeap.set(c, tmp);
}

/*
* 最小堆的删除
*
* 返回值：
*     成功，返回被删除的值
*     失败，返回null
*/
public int remove(T data) {
// 如果"堆"已空，则返回-1
if(mHeap.isEmpty() == true)
return -1;

// 获取data在数组中的索引
int index = mHeap.indexOf(data);
if (index==-1)
return -1;

int size = mHeap.size();
mHeap.set(index, mHeap.get(size-1));// 用最后元素填补
mHeap.remove(size - 1);                // 删除最后的元素

if (mHeap.size() > 1)
filterdown(index, mHeap.size()-1);    // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆

return 0;
}

/*
* 最小堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
*     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
protected void filterup(int start) {
int c = start;            // 当前节点(current)的位置
int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置
T tmp = mHeap.get(c);        // 当前节点(current)的大小

while(c > 0) {
int cmp = mHeap.get(p).compareTo(tmp);
if(cmp <= 0)
break;
else {
mHeap.set(c, mHeap.get(p));
c = p;
p = (p-1)/2;
}
}
mHeap.set(c, tmp);
}

/*
* 将data插入到二叉堆中
*/
public void insert(T data) {
int size = mHeap.size();

mHeap.add(data);    // 将"数组"插在表尾
filterup(size);        // 向上调整堆
}

public String toString() {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for (int i=0; i<mHeap.size(); i++)
sb.append(mHeap.get(i) +" ");

return sb.toString();
}

public static void main(String[] args) {
int i;
int a[] = {80, 40, 30, 60, 90, 70, 10, 50, 20};
MinHeap<Integer> tree=new MinHeap<Integer>();

System.out.printf("== 依次添加: ");
for(i=0; i<a.length; i++) {
System.out.printf("%d ", a[i]);
tree.insert(a[i]);
}

System.out.printf("\n== 最 小 堆: %s", tree);

i=15;
tree.insert(i);
System.out.printf("\n== 添加元素: %d", i);
System.out.printf("\n== 最 小 堆: %s", tree);

i=10;
tree.remove(i);
System.out.printf("\n== 删除元素: %d", i);
System.out.printf("\n== 最 小 堆: %s", tree);
System.out.printf("\n");
}
}

二叉堆的Java测试程序

测试程序已经包含在相应的实现文件中了，这里只说明运行结果。

最大堆(MaxHeap.java)的运行结果：

== 依次添加: 10 40 30 60 90 70 20 50 80
== 最 大 堆: 90 80 70 60 40 30 20 10 50
== 添加元素: 85
== 最 大 堆: 90 85 70 60 80 30 20 10 50 40
== 删除元素: 90
== 最 大 堆: 85 80 70 60 40 30 20 10 50

最小堆(MinHeap.java)的运行结果：

== 最 小 堆: 10 20 30 50 90 70 40 80 60
== 添加元素: 15
== 最 小 堆: 10 15 30 50 20 70 40 80 60 90
== 删除元素: 10
== 最 小 堆: 15 20 30 50 90 70 40 80 60

PS. 二叉堆是”堆排序”的理论基石。以后讲解算法时会讲解到”堆排序”，理解了”二叉堆”之后，”堆排序”就很简单了。

转载自：二叉堆(三)之 Java的实现