POJ 1273 最大流入门题 Edmonds_Karp算法

参考：http://www.cnblogs.com/zsboy/archive/2013/01/27/2878810.html

EK算法的核心：

反复寻找源点s到汇点t之间的增广路径，若有，找出增广路径上每一段[容量-流量]的最小值delta，若无，则结束。

在寻找增广路径时，可以用BFS来找，并且更新残留网络的值(涉及到反向边)。

而找到delta后，则使最大流值加上delta，更新为当前的最大流值。

Edmonds_Karp算法步骤：

循环{
初始化
寻找增广路，没有则退出
根据增广路，更新流量
}

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<string>
#include<map>
#include<set>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<sstream>
#define OJ_PRINT 0
#define READ_FILE 0
#define ll long long
using namespace std;
const int NN_MAX = 210;
const int MM_MAX = 250;
const int INF = 0x1fffffff;
const double M_DBL_MAX = 1.7976931348623158e+308;
const double M_DBL_MIN = 2.2250738585072014e-308;
struct Edge{
int from,to,cap,flow;
Edge (int a,int b,int c,int d):from(a),to(b),cap(c),flow(d){}
Edge ():from(0),to(0),cap(0),flow(0){}
};
/**********************************************************/
/* s-起点，t-终点，sum-为最大流大小 */
int n,m,s,t,sum;
/* flow[u][v]为<u,v>流量，cap[u][v]为<u,v>容量，
**d[i]表示源点s到节点i的路径上的最小残留量，p[i]记录i的前驱用于计算根据增广路径计算更新流 */
int flow[NN_MAX][NN_MAX],cap[NN_MAX][NN_MAX],d[NN_MAX],p[NN_MAX];
Edge theEdge[MM_MAX];
/**********************************************************/
int min_2 (int x,int y) {return x<y?x:y;}
int max_2 (int x,int y) {return x>y?x:y;}
void Edmonds_Karp ();
/**********************************************************/
int main()
{
//freopen ("in.txt","r",stdin);
while (scanf ("%d %d",&m,&n)!=EOF)
{
s=1;t=n;sum=0;//初始化起点、终点
memset (flow,0,sizeof (flow));
memset (cap,0,sizeof (cap));
int a,b,c;
for (int i=1;i<=m;i++){
scanf ("%d %d %d",&a,&b,&c);
cap[a][b]+=c;//置容量大小
}
Edmonds_Karp ();
}
return 0;
}
void Edmonds_Karp ()
{
queue<int> qe;//用bfs找增广路
while (1)
{
memset (d,0,sizeof (d));//寻找最大流，初始化为0，每找一次，初始化一次
d[s]=INF;
qe.push (s);//源点入队
while (!qe.empty ())
{
int x=qe.front ();qe.pop ();
for (int y=1;y<=n;y++)//遍历每个点
if (!d[y] && cap[x][y]-flow[x][y]>0){//如果该点没有被访问，且还有残留容量
p[y]=x;//设置父亲，用于更新流
qe.push (y);
if (OJ_PRINT) printf ("%d %d:%d<-->%d\n",x,y,d[y],cap[x][y]-flow[x][y]);
d[y]=min_2 (d[x],cap[x][y]-flow[x][y]);//增广路的最大值是这条路上所有边的残留容量的最小值
}
}
if (d[t]==0) break;//d[t]=0说明没有其他点能够到达终点，也就是没有增广路了，即得到了最大流
sum+=d[t];//累积最大流大小
for (int i=t;i!=s;i=p[i]){//从终点沿着增广路往起点走，途中更新所经过边的流
flow[p[i]][i]+=d[t];//更新正向流量
flow[i][p[i]]-=d[t];//更新反向流量
}
}
printf ("%d\n",sum);
}

在程序实现的时候，我们通常只是用一个cap数组来记录容量，而不记录流量，当流量+1的时候，我们可以通过容量-1来实现，以方便程序的实现。正向用cap[u][v],则反向用cap[v][u]表示。

void Edmonds_Karp ()
{
queue<int> qe;
while (1)
{
memset (d,0,sizeof(d));
d[s]=INF;
qe.push (s);
while (!qe.empty ())
{
int x=qe.front ();qe.pop ();
for (int y=1;y<=n;y++)
if (!d[y] && cap[x][y]>0){//cap[x][y]为当前残留容量
p[y]=x;
qe.push (y);
d[y]=min_2 (d[x],cap[x][y]);
}
}
if (d[t]==0) break;
sum+=d[t];
for (int i=t;i!=s;i=p[i]){
cap[p[i]][i]-=d[t];//正向-增广路径宽度，表示残留容量
cap[i][p[i]]+=d[t];//反向+增广路径宽度，表示已用容量
}
}
printf ("%d\n",sum);
}

上面用的都是邻接矩阵，也可以使用邻接表。注意邻接表G[i][j]保存的是结点i的第j条邻接边，在theEdge数组中的下标。注意用于回找增广路径的p[]数组使如何往回找的。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<string>
#include<map>
#include<set>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<sstream>
#define OJ_PRINT 1
#define READ_FILE 1
#define ll long long
using namespace std;
const int NN_MAX = 210;
const int MM_MAX = 250;
const int INF = 0x1fffffff;
const double M_DBL_MAX = 1.7976931348623158e+308;
const double M_DBL_MIN = 2.2250738585072014e-308;
struct Edge{
  int from,to,cap,flow;
  Edge (int a=0,int b=0,int c=0,int d=0):from(a),to(b),cap(c),flow(d){}
  Edge ():from(0),to(0),cap(0),flow(0){}
};
/**********************************************************/
int n,m,s,t,sum;//s-起点，t-终点，sum-为最大流大小
int a[NN_MAX],p[NN_MAX];
vector<Edge> theEdge;
vector<int> G[NN_MAX];//邻接表G[i][j]保存的是结点i的第j条邻接边，在theEdge数组中的下标
/**********************************************************/
int min_2 (int x,int y) {return x<y?x:y;}
int max_2 (int x,int y) {return x>y?x:y;}
void Edmonds_Karp ();
void Init ();
/**********************************************************/
int main()
{
  if (READ_FILE) freopen ("in.txt","r",stdin);
  while (scanf ("%d %d",&m,&n)!=EOF)
  {
    s=1;t=n;sum=0;//初始化起点、终点
    int a,b,c;
    Init ();
    for (int i=1;i<=m;i++){
      scanf ("%d %d %d",&a,&b,&c);
      theEdge.push_back ( Edge(a,b,c) );
      theEdge.push_back ( Edge(b,a) );//在正向弧后紧跟反向弧
      G[a].push_back (i*2-2);//保存下标
      G[b].push_back (i*2-1);
    }
    Edmonds_Karp ();
  }
  return 0;
}
void Edmonds_Karp ()
{
  queue<int> qee;
  while (1)
  {
    memset (a,0,sizeof (a));
    a[s]=INF;
    qee.push (s);
    while (!qee.empty ())
    {
      int x=qee.front ();qee.pop ();
      for (int i=0;i<G[x].size ();i++){
        Edge e=theEdge[ G[x][i] ];//e是与结点x邻接的边
        if (!a[e.to] && e.cap>e.flow){//0-(-1)也符合条件
          if (OJ_PRINT) printf ("%d %d %d %d\n",e.from,e.to,e.cap,e.flow);
          //x是当前点的编号，e.from=x，e.to是这条边的另外一个点
          p[e.to]=G[x][i];//相当于前面的p[y]=x，只是G[x][i]是所在边在theEdge中的下标
          qee.push (e.to);//将下一个点入队
          a[e.to]=min_2 (a[x],e.cap-e.flow);//更新残留容量为增广路中最小的残留
        }
      }
    }
    if (a[t]==0) break;
    sum+=a[t];
    //p[i]是所在边在theEdge的下标，theEdge[p[i]].from是增广路径中y的儿子结点x
    for (int i=t;i!=s;i=theEdge[p[i]].from){
      if (OJ_PRINT) printf ("%d--",i);
      theEdge[p[i]].flow+=a[t];//正向流量+本次增广路使用的流量
      theEdge[p[i]^1].flow-=a[t];
    }
    if (OJ_PRINT) printf ("%d\n",s);
  }
  printf ("%d\n",sum);
}
void Init ()
{
  for (int i=0;
4000
i<n;i++) G[i].clear ();
  theEdge.clear();
}

为了理解反向弧，我们测试如下数据：

9 8

1 2 1

1 3 1

2 5 1

2 6 1

3 4 1

4 5 1

5 8 1

6 7 1

7 8 1
如图：



红色代表第一次找到增广路1→2→5→8后，添加的反向弧，第二次找的增广路就是1→3→4→5→2→6→7→8。

得到数据如下：

1 2 1 0

1 3 1 0

2 5 1 0

2 6 1 0

3 4 1 0

5 8 1 0

6 7 1 0

8--5--2--1

1 3 1 0

3 4 1 0

4 5 1 0

5 2 0 -1

2 6 1 0

6 7 1 0

7 8 1 0

8--7--6--2--5--4--3--1

可以看到5 2 0 -1，程序有了反悔的机会。