计算机图形学导论（1）-基础数学

前言

最近又参加了伯克利大学的计算机图形学导论。计算机图形学是一门应用十分广泛，也相当复杂的学科，它也被称为程序员三大浪漫之一！另外的两个是编译原理和操作系统。

数学基础

计算机图形学一开始并不要求你有很深厚的数学基础，高中基础数学是完全可以应付过来的。而在图形学中，主要要用到这两个抽象数据结构

向量

矩阵

下面就来说说这两个的基本运算吧。

向量运算

向量是有方向和长度，一般有一个箭头来表示

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，通常我们并不关心向量的坐标。

四则运算

加法



乘以标量、转置、求模



点乘



点乘满足交换律和分配律





叉乘



差乘的一般规律



叉乘不满足交换律！

叉乘使用矩阵来运算



投影

矩阵运算

矩阵是一个NxM的方形阵列，主要用于乘法，不满足交换律！假设有矩阵A乘以矩阵B要进行乘法的条件是先确定A的列数等于B的行数，然后再用A的一行乘以B的一列作为新矩阵的第一行第一列。







转置矩阵



逆矩阵



矩阵主要用来计算物体的平移，缩放，旋转，拉伸，或投影等

物体的运动

缩放

一个二维的缩放矩阵大概是这样的，它表示在x方向放大a倍，y方向上放大b倍：

a00b

斜切

它表示将一个方形在水平方向上拉成平行四边形，y坐标不变：

10a1

旋转

由以上二维旋转矩阵可以推出三维上各个轴上的旋转矩阵



由于矩阵没有交换律，所以坐标变换的顺序不可以轻易改变。

齐次坐标

用3X3矩阵实现平移是一件非常难的事情，所以我们把它变为4X4矩阵并加上w变量，我们称之为其次坐标：



最下角的值我们把它叫做w变量，当这个变量不为一时，我们需要除以w来标准化矩阵，当这个变量为0时，表示这个点离我们无限远。