Matlab中数据处理和多项式插值与曲线拟合

一、  基本统计处理
1、查取最大值
MAX函数的命令格式有：
[Y,I]= max (X)：将max(X)返回矩阵X的各列中的最大元素值及其该元素的位置赋予行向量Y与I；当X为向量时，则Y与I为单变量。
[Y,I]=max(X,[],DIM)：当DIM=1时按数组X的各列查取其最大的元素值及其该元素的位置赋予向量Y与I;当DIM=2时按数组X的各行查取其最大的元素值及其该元素的位置赋予向量Y与I.
max(A,B)：返回一个与A,B同维的数组，其每一个元素是由A,B同位置上的元素的最大值组成。

【例1】查找下面数列x的最大值。
x=[3 5 9 6 1 8]       % 产生数列x
x =     3     5     9     6     1     8
y=max(x)           % 查出数列x中的最大值赋予y
y =     9
[y,l]=max(x) % 查出数列x中的最大值及其该元素的位置赋予y,l
y =     9
l =     3

【例2】分别查找下面3×4的二维数组x中各列和各行元素中的最大值。
x=[1 8 4 2;9 6 2 5;3 6 7 1]    % 产生二维数组x
x =     1     8     4     2
          9     6     2     5
           3     6     7     1
y=max(x)           % 查出二维数组x中各列元素的最大值产生赋予行向量y
y =     9     8     7     5

[y,l]=max(x)         % 查出二维数组x中各列元素的最大值及其这些
                   % 元素的行下标赋予y,l
y =     9     8     7     5
l =     2     1     3     2
[y,l]=max(x,[ ],1)      % 本命令的执行结果与上面命令完全相同
y =     9     8     7     5
l =     2     1     3     2
[y,l]=max(x,[ ],2)      % 由于本命令中DIM=2,故查找操作在各行中进行
y =     8
          9
         7
l =     2
         1
         3

[y,l]=max(x)         % 查出二维数组x中各列元素的最大值及其这些
                   % 元素的行下标赋予y,l
y =     9     8     7     5
l =     2     1     3     2
[y,l]=max(x,[ ],1)      % 本命令的执行结果与上面命令完全相同
y =     9     8     7     5
l =     2     1     3     2
[y,l]=max(x,[ ],2)      % 由于本命令中DIM=2,故查找操作在各行中进行
y =     8
          9
         7
l =     2
         1
         3

2、查取最小值
MIN函数用来查取数据序列的最小值。它的用法与命令格式与MAX函数完全一样，所不同的是执行的结果是最小值。

3、求中值
所谓中值，是指在数据序列中其值的大小恰好在中间。例如，数据序列9,-2,5,7,12的中值为7 。
如果为偶数个时，则中值等于中间的两项之平均值。

MEDIAN函数调用的命令格式有：
Y=median(X)：将median(X)返回矩阵X各列元素的中值赋予行向量Y。若X为向量，则Y为单变量。

Y=median(X,DIM)：按数组X的第DIM维方向的元素求其中值赋予向量Y。若DIM=1，为按列操作；若DIM=2，为按行操作。若X为二维数组，Y为一个向量；若X为一维数组，则Y为单变量。

【例4】试分别求下面数列x1与x2的中值。
x1=[9 -2 5 7 12];            % 奇数个元素
y1=median(x)
y1 =
     7
x2=[9 -2 5 6 7 12];           % 偶数个元素
y2=median(x)
y2 =
    6.5000

【例5】对下面二维数组x，试从不同维方向求出其中值。
x=[1 8 4 2;9 6 2 5;3 6 7 1]      % 产生一个二维数组x
x =     1     8     4     2
          9     6     2     5
          3     6     7     1
y0=median(x)               % 按列操作
y0 =     3     6     4     2
y1=median(x,1)              % 此时DIM=1,故按列操作,结果y1为行向量
y1 =     3     6     4     2
y2=median(x,2)              % 此时DIM=2,故按行操作, 结果y2为列向量
y2 =    3.0000
           5.5000
           4.5000

4、求和
命令格式有：
Y=sum(X)：将sum(X)返回矩阵X各列元素之和赋予行向量Y；若X为向量，则Y为单变量。

Y=sum(X,DIM)：按数组X的第DIM维的方向的元素求其和赋予Y。若DIM=1，为按列操作；若DIM=2，为按行操作。若X为二维数组，Y为一个向量；若X为一维数组，则Y为单变量。

例如：
x=[4 5 6;1 4 8]
x =
     4     5     6
     1     4     8
y=sum(x,1)
y =
     5     9    14
y=sum(x,2)
y =
    15
    13

5、求平均值
MEAN函数调用的命令格式有：
Y= mean(X)：将mean (X)返回矩阵X各列元素之的平均值赋予行向量Y。若X为向量，则Y为单变量。

Y= mean(X,DIM)：按数组X的第DIM维的方向的元素求其平均值赋予向量Y。若DIM=1，为按列操作；若DIM=2，为按行操作。若X为二维数组，Y为一个向量；若X为一维数组，则Y为单变量。

6、求积
命令格式有：
Y= prod(X)：将prod(X)返回矩阵X各列元素之积赋予行向量Y。若X为向量，则Y为单变量。

Y= prod(X,DIM)：按数组X的第DIM维的方向的元素求其积赋予向量Y。若DIM=1，为按列操作；若DIM=2，为按行操作。若X为二维数组，Y为一个向量；若X为一维数组，则Y为单变量。

 7、 求累计和、累积积、标准方差与升序排序

MATLAB提供的求累计和、累积积、标准方差与升序排序等函数分别为CUMSUM、CUMPROD、STD和SORT，这里仅STD函数为MATLAB程序，其余均为内部函数。
这些函数调用的参数与操作方式都与上小节的MEDIAN（中值）函数基本上一样，因此不作详细的介绍。

二、插值与曲线拟合

1.多项式的曲线拟合
    对于实验或统计数据，为了描述不同变量之间的关系，经常采用拟合曲线的办法。拟合曲线，就是要根据已知数据找出相应函数的系数。通常情况下，已知数据往往多于未知系数的个数，所以曲线拟合实质上是解超线性方程组。

 曲线拟合涉及回答两个基本问题：最佳拟合意味着什么？应该用什么样的曲线？可用许多不同的方法定义最佳拟合，并存在无穷数目的曲线。所以，从这里开始，我们走向何方？正如它证实的那样，当最佳拟合被解释为在数据点的最小误差平方和，且所用的曲线限定为多项式时，那么曲线拟合是相当简捷的。数学上，称为多项式的最小二乘曲线拟合。如果这种描述使你混淆，再研究图11.1。虚线和标志的数据点之间的垂直距离是在该点的误差。对各数据点距离求平方，并把平方距离全加起来，就是误差平方和。这条虚线是使误差平方和尽可能小的曲线，即是最佳拟合。最小二乘这个术语仅仅是使误差平方和最小的省略说法。

命令格式：
p=polyfit(x,y,n):在向量p中返回多项式的系数。其中x和y为已知数据的横坐标和纵坐标向量，n为多项式的次数；
[p,s]=polyfit(x,y,n):同时还返回一个误差估计数组s。

Matlab polyval

 
　　函数功能
 
　　多项式的估值运算
 
　　
 

　　使用方法
 
　　y = polyval(p,x)
 
　　返回n次多项式在x处的值。输入变量p是一个长度为n+1的向量，其元素为按降幂排列的多项式系数。
 
　　y=p1*x^n+p2*x^(n-1)+...+pn*x+p(n+1)
 

　　x可以是一个矩阵或者一个向量,在这两种情况下，polyval计算在X中任意元素处的多项式p的估值。
 

　　举例
 
　　对多项式p(x)=3*x^2+2*x+1，计算在x=5,7,9的值。
 
　　>> p = [3 2 1];
 
　　>> x=[5,7,9];
 
　　>> polyval(p,[5 7 9])
 
　　%结果为
 
　　ans =
 

　　86 162 262

x=(0:0.1:2.5);%x轴是0.5，只不过每隔0.1显示一个点（图中的圈）
y=erf(x);%误差函数，非初等函数
p=polyfit(x,y,6);
f=polyval(p,x);
plot(x,y,'o',x,f,'-');

 



 

 2. 一维插值
插值定义为对数据点之间函数的估值方法，这些数据点是由某些集合给定。当人们不能很快地求出所需中间点的函数值时，插值是一个有价值的工具。例如，当数据点是某些实验测量的结果或是过长的计算过程时，就有这种情况。差值在信号和图像处理方面有很重要的应用。

命令格式：
      yi=interp1(x,Y,xi)
      yi=interp1(x,Y,xi,method)
 其中，xi为需要插值的位置所组成的向量，yi为根据插值算法求得的值所组成的向量。x和Y为已知的数据点向量。参量用于确定具体的插值方法，包括：
  ‘linear’：表示采用线性插值方法
  ‘cubic’：表示采用三次插值方法
  ‘nearest’：表示采用最近点插值方法
  ‘spline’：表示采用三次样条插值方法
这四种方法都要求把已知数据按x作升序或降序排列

　　在选择插值方法时，应该考虑速度、内存需要和光滑问题。在上述四种方法中，最近点插值法最快，但它的插值很粗糙。线性插值较最近点插值法

需要更多的内存和计算时间，但插值曲线连续，并且导数连续。样条插值法虽然比三次插值法所需的内存少，但耗时多，不过插值曲线最光滑。需

要说明的是，由于样条插值的特性，当已知数据分布不均匀时，插值结果不太理想。

【例12】下面两个向量分别包括了1900到1990年间美国人口普查的年代和相应的人口数（单位为百万）

t=[1900 1910 1920 1930 1940      1950 1960 1970 1980 1990] p=[75.9950 91.9720 105.7110 123.2030       131.6690 150.6970 179.3230 203.2120        226.5050 249.6330]

 

估计1975年的人口数        

interpl(t,p,1975) 估计1900到2000年每一年的人口数        

x=1900 :1: 2000;        

y=interp1(t,p,x,'spline');        

plot(t,p,'o',x,y)

 

三.离散傅立叶变换

例   给定数学函数
　　x(t)=12sin(2π×10t+π/4)+5cos(2π×40t)
取N=128，试对t从0~1秒采样，用fft作快速傅立叶变换，绘制相应的振幅-频率图。
在0~1秒时间范围内采样128点，从而可以确定采样周期和采样频率。由于离散傅立叶变换时的下标应是从0到N-1，故在实际应用时下标应该前移1。又考虑到对离散傅立叶变换来说，其振幅| F(k)|是关于N/2对称的，故只须使k从0到N/2即可。

1 N=128;                         % 采样点数
2 T=1;                                 % 采样时间终点
3 t=linspace(0,T,N);                % 给出N个采样时间ti(I=1:N)
4 x=12*sin(2*pi*10*t+pi/4)+5*cos(2*pi*40*t);  % 求各采样点样本值x
5 dt=t(2)-t(1);                   % 采样周期
6 f=1/dt;                          % 采样频率(Hz)
7 X=fft(x);                        % 计算x的快速傅立叶变换X，ifft是逆变换
8 F=X(1:N/2+1);                   % F(k)=X(k)(k=1:N/2+1)
9 f=f*(0:N/2)/N;                  % 使频率轴f从零开始
10 plot(f,abs(F),'-*')            % 绘制振幅-频率图
11 xlabel('Frequency');
12 ylabel('|F(k)|')

 四.多项式计算

　　1  多项式的四则运算

　　　　1．多项式的加减运算
　　　　2．多项式乘法运算
　　函数conv(P1,P2)用于求多项式P1和P2的乘积。这里，P1、P2是两个多项式系数向量。
    例  求多项式x4+8x3-10与多项式2x2-x+3的乘积。

　　　　3．多项式除法
　　函数[Q,r]=deconv(P1,P2)用于对多项式P1和P2作除法运算。其中Q返回多项式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。这里，Q和r仍是多项式系数向量。
　　deconv是conv的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。

   2 多项式的导函数（和diff不同的是polyder中p为向量而diff中是符号表达式）

　　对多项式求导数的函数是：
　　p=polyder(P)：求多项式P的导函数
　　p=polyder(P,Q)：求P·Q的导函数
　　[p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。
　　上述函数中，参数P,Q是多项式的向量表示，结果p,q也是多项式的向量表示。

  3  多项式的求值

　　MATLAB提供了两种求多项式值的函数：polyval与polyvalm，它们的输入参数均为多项式系数向量P和自变量x。两者的区别在于前者是代数多项式求值，而后者是矩阵多项式求值。

　　1．代数多项式求值
　　polyval函数用来求代数多项式的值，其调用格式为：
　　Y=polyval(P,x)
　　若x为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。
　　例  已知多项式x4+8x3-10，分别取x=1.2和一个2×3矩阵为自变量计算该多项式的值。

　　2．矩阵多项式求值
　　rank(A)求秩，eig（A）求特征值。
　　polyvalm函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与polyval相同，但含义不同。polyvalm函数要求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。设A为方阵，P代表多项式x3-5x2+8，那么polyvalm(P,A)的含义　　　　     是：A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))
　　而polyval(P,A)的含义是：A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))

   4 多项式求根

　　n次多项式具有n个根，当然这些根可能是实根，也可能含有若干对共轭复根。MATLAB提供的roots函数用于求多项式的全部根，其调用格式为：
　　x=roots(P)
　　其中P为多项式的系数向量，求得的根赋给向量x，即x(1),x(2),…,x(n)分别代表多项式的n个根。

　　例6-21  求多项式x4+8x3-10的根。
　　命令如下：
　　A=[1,8,0,0,-10];
　　x=roots(A)
　　若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起该多项式，其调用格式为：
　　P=poly(x)
　　若x为具有n个元素的向量，则poly(x)建立以x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量P。

 

　　例  已知 f(x)
　　(1) 计算f(x)=0 的全部根。
　　(2) 由方程f(x)=0的根构造一个多项式g(x)，并与f(x)进行对比。
　　命令如下：
　　P=[3,0,4,-5,-7.2,5];
　　X=roots(P)            %求方程f(x)=0的根
　　G=poly(X)            %求多项式g(x)