离散数学Notes

一    集合

基数（Cardinality）：集合内元素的个数。A的基数一般记为|A|。

平凡子集：P的平凡自己只有2个，P和 Φ。  （之所以谓之“平凡”，时因为每个集合均有这两个子集【Φ的这2个子集重合】）

幂集（Power Set）：集合A所有的子集构成的集合，为A的幂集。（其实称幂集，与原文power set关系不大，是因为Card P(A)的值为2^n【n为A中元素的个数】，恰为2 n次  幂，故称之为幂集。有些书籍会以2^A来表示A的幂集。）

对称差（Symmetric difference）：把P和Q的所有元素扣除P和Q的公共元素所组成的集合。【P∪Q-P∩Q】

二   归纳方法

数学归纳法的推广

1.有限归纳法

设S为一命题，若

（1）s（n0）成立（n0 >= 1）。

（2）由n0 <= n <= m0 - 1对s(n)成立，能推出s(n + 1)成立。【数学归纳法在有限范围内的应用，故称之为有限归纳法】

则s(n)对n0 <= n <= m0都成立。                                                      

2.强归纳法

设S为一命题，若

（1）s（n0）成立（n0 >= 1）。

（2）假设n0 <= n <= k时s(n)成立，能推出s(k + 1)成立。【由假定一个范围里都成立，推出下一个成立，论据加强了】

则s(n)对n >= n0都成立。    

二   二元关系

各类二元关系的性质

自反性：... 自反闭包：...R(A)    [reverse]
        反...

对称性：... 对称闭包：...S(A)
   [symmetric]· 反...

传递性：... 传递闭包：...  R*

关于传递闭包(R*)的定理：

设|A| = n,R是A上的二元关系，则存在正整数k，k <= n,使得R* = R ∪ R^2 ∪ R^3 ∪.....∪ R^k。

由定理，求R*时，k取到n时，已经足够大了，于是可用R* = R ∪ R^2 ∪ R^3 ∪.....∪ R^n来求R*。

据此求法有比较有效的Warshall算法：

设R是n个元素上的二元关系，

（1）（a,j）nxn是R的相关矩阵；

（2）  i <- 1;

（3）  for j = 1 to n do

   
if aj,i =1,then do

for k = 1 to n do

aj,k <- aj,k  ∪ ai,k

（4）i <- i + 1

（5）if i <= n,then go (3) else stop.

其结果已变成R*的矩阵形式了，算法时间杂度为O（n^3），是一好算法。

Warshall 的C语言实现：

//Warshall算法C语言实现

#include <stdio.h>

#define N 3

int main (void)

{
int a

= {{1,1,0},{0,0,1},{0,0,0}},i,j,k;

for(i = 0; i < N; i ++)
for(j = 0; j < N; j ++)
{
if(a[j][i] == 1)
for(k = 0; k < N; k ++)
a[j][k] = a[j][k] || a[i][k];
}

for(i = 0; i < N; i ++)
// 结果输出
{
for(j = 0; j < N; j ++)
printf("%d\t",a[i][j]);
printf("\n");
}

return 0;

}