深入理解计算机系统笔记（一）关于位运算求整数平均值

《深入理解计算机系统》是一本每一个追求更高境界的程序员应该反复研读的优秀书籍，这是我第二次细读本书，于是对书中每个知识点做了一些更深入的扩展和思考。

在本书第二章--信息的表示和处理--中介绍了二进制的位运算，关于位运算的在应用中的妙招可谓不胜枚举，我会对其中比较精妙的应用写一些自己的理解，与广大朋友一起探讨，共同进步。

今天说一下我对位运算求整数的平均值的理解。

int average(int x,int y)
{
return ((x&y) + (x^y)>>1);
}       位运算求平均值的方法在性能上与传统的（X+Y）>> 1 的方法并没有什么优势，其唯一的好处就是可以避免溢出问题。那么为什么能避免溢出呢？

       首先我们知道，整数加法出现溢出，一定是两个数的最高位出现了进位（假设正溢出），超出了该数据类型的bit数导致溢出。传统的（X+Y）>> 1 无法避免这个问题。

然后我们来看位运算的方法：

1、x&y 表示什么？

     它取出了两个数中均为1的bit位x1和y1，同时它也等于(x1+y1)/2的值，为什么呢？很简单，因为1+1的均值就是1，恰巧等于&运算的结果。例如，（0010 + 0010）/2 = 0010;  这样我们就通过x&y运算求得了最终均值的第一部分；

2、(x^y)>>1表示什么？

    右移一位表示除以2这个大家都很清楚，而x^y则表示两个数中bit位一个为0一个为1的位，而巧妙的是，0+1=1正好是异或运算的结果。所以(x^y)>>1就表示了均值的剩下那一部分；

3、为什么可以将均值分成这样的两个部分？

    我想这是理解原理的关键，也是理解二进制的关键。

            我们知道十进制的加法里，比如,302+210，其实本质上它应该写成这样，3*100+0*10+2 和 2*100+1*10，也就是说，对应10的幂的系数不为0，那么这些系数对应的项将对求和结果作出”贡献“；同理，二进制的加法里，假设 100011 + 101101，可以按”贡献“对bit位进行分类，全为1，全为0，有一个1的三种。其中全为0的位对求和没有任何”贡献“，所以我们不予考虑。那么现在就考察两种，全为1和有一个1的bit，我们不妨将原数字写成两个部分,：

100011 = 100001 + 000010，

101101 = 100001 + 001100，

这样我们就将原数分解为两部分，两数均为1的bit位和只有一个1的bit位。对这两部分分别求均值。

100001+100001的均值显然仍为100001，这就是x&y的结果；

000010+001100的均值即(x^y)>>1；

最后将两部分相加即原数的均值；

最后一个问题，为什么这样计算就不会溢出？

会不会溢出主要看+运算，也就是看x&y和(x^y)>>1这两个数的最高位是否有可能都为1，如果有可能，那么就可能溢出，反之亦然。

如果x&y的最高位为1，那么x和y的最高位均为1，那么x^y的最高位肯定是0，根据计算机右移操作补最高的原则，(x^y)>>1的最高位同样也为0，所以两部分相加一定是1+0，不会出现溢出。那么有人会说，第二位如果有进位呢？

我们可以看出，x&y和x^y这两个结果中，所有的bit位都是相反的，即如 101010 和 010101 这样的结果，把后者右移一位，会出现进位到最高位的情况吗？

出现进位的bit一定是后者的1右移一位正好遇到前者的1，那么这时候后者这个1前面的第一个0右移之后一定会遇到前者的0，这样就不会导致进位到最高位的情况。除非后者全为1，如果全为1，那么前者一定全为0，显然相加不会出现溢出。

       所以这样的位运算不会产生溢出。

（本人才疏学浅，最后证明不会溢出的过程，还望大家总结一个数学严密的证明过程）