数据结构之图：图的存储结构和遍历

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一、图的存储结构

1.1 邻接矩阵

图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。

设图G有n个顶点，则邻接矩阵是一个n*n的方阵，定义为：



看一个实例，下图左就是一个无向图。



从上面可以看出，无向图的边数组是一个对称矩阵。所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足aij =
aji。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元和左下角相对应的元全都是相等的。

从这个矩阵中，很容易知道图中的信息。

（1）要判断任意两顶点是否有边无边就很容易了；

（2）要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行或（第i列）的元素之和；

（3）求顶点vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[i][j]为1就是邻接点；

而有向图讲究入度和出度，顶点vi的入度为1，正好是第i列各数之和。顶点vi的出度为2，即第i行的各数之和。

若图G是网图，有n个顶点，则邻接矩阵是一个n*n的方阵，定义为：



这里的wij表示(vi,vj)上的权值。无穷大表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的值，也就是一个不可能的极限值。下面左图就是一个有向网图，右图就是它的邻接矩阵。



那么邻接矩阵是如何实现图的创建的呢？代码如下。

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
using namespace std;

typedef char VertexType;//顶点类型应由用户定义
typedef int EdgeType;//边上的权值类型应由用户定义

#define MAXVEX 100//最大顶点数
#define INFINITY 65535//用65535代表无穷大
#define DEBUG

typedef struct
{
VertexType vexs[MAXVEX];//顶点表
EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];//邻接矩阵，可看作边
int numVertexs,numEdges;//图中当前的顶点数和边数
}Graph;

//定位
int locates(Graph *g,char ch)
{
int i=0;
for(i=0;i<g->numEdges;i++)
{
if(g->vexs[i]==ch)
break;
}
if(i>=g->numVertexs)
{
return -1;
}
return i;
}

void CreateGraph(Graph *g)
{
int i,j,k,w;
cout<<"输入顶点数和边数："<<endl;
cin>>g->numVertexs>>g->numEdges;
#ifdef DEBUG
cout<<g->numVertexs<<g->numEdges;
#endif
for(i=0;i<g->numVertexs;i++)
{
g->vexs[i]=getchar();
while(g->vexs[i]=='\n')
{
g->vexs[i]=getchar();
}
}
#ifdef DEBUG
for(i=0;i<g->numVertexs;i++)
{
cout<<g->vexs[i]<<" ";
}
cout<<endl;
#endif

for(i=0;i<g->numEdges;i++)
{
for(j=0;j<g->numEdges;j++)
{
g->arc[i][j]=INFINITY;//邻接矩阵初始化
}
}
for(k=0;k<g->numEdges;k++)
{
char p,q;
cout<<"输入边（vi,vj）上的下标i，下标j和权值："<<endl;
p=getchar();
while(p=='\n')
{
p=getchar();
}
q=getchar();
if(q=='\n')
{
q=getchar();
}
cin>>w;
int m=-1,n=-1;
m=locates(g,p);
n=locates(g,q);
if(n==-1||m==-1)
{
cout<<"there is no such vertex"<<endl;
return;
}
g->arc[m]
=w;
g->arc
[m]=g->arc[m]
;//因为是无向图，矩阵对称
}
}

//打印图
void printGraph(Graph g)
{
int i,j;
for(i=0;i<g.numVertexs;i++)
{
for(j=0;j<g.numVertexs;j++)
{
cout<<g.arc[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
}

int main(int argc,char**argv)
{
Graph g;
CreateGraph(&g);
printGraph(g);
system("pause");
return 0;
}

从代码中可以得到，n个顶点和e条边的无向网图的创建，时间复杂度为O(n + n2 +
e)，其中对邻接矩阵Grc的初始化耗费了O(n2)的时间。

1.2 邻接表

邻接矩阵是不错的一种图存储结构，但是，对于边数相对顶点较少的图，这种结构存在对存储空间的极大浪费。因此，找到一种数组与链表相结合的存储方法称为邻接表。

邻接表的处理方法是这样的：

（1）图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过，数组可以较容易的读取顶点的信息，更加方便。

（2）图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以，用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表，有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表。

例如，下图就是一个无向图的邻接表的结构。



从图中可以看出，顶点表的各个结点由data和firstedge两个域表示，data是数据域，存储顶点的信息，firstedge是指针域，指向边表的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点。边表结点由adjvex和next两个域组成。adjvex是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标，next则存储指向边表中下一个结点的指针。

对于带权值的网图，可以在边表结点定义中再增加一个weight的数据域，存储权值信息即可。如下图所示。



对于邻接表结构，图的建立代码如下。

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
using namespace std;

#define DEBUG
#define MAXVEX 1000//最大顶点数
typedef char VertexType;//顶点类型
typedef int EdgeType;//边上的权值类型

typedef struct EdgeNode//边表结点
{
int adjvex;//邻接点域
struct EdgeNode *next;//链域，指向下一个邻接点
EdgeType weight;//用于存储权值，对于非网图可以不需要
}EdgeNode;

typedef struct VertexNode//顶点表结构
{
VertexType data;//顶点域，存储顶点信息
EdgeNode *firstedge;//边表头指针
}VertexNode,AdjList[MAXVEX];

typedef struct
{
AdjList adjList;
int numVertexs,numEdges;//图中当前顶点数和边数
}GraphList;

int Locate(GraphList *g,char ch)
{
int i;
for(i=0;i<MAXVEX;i++)
{
if(ch==g->adjList[i].data)
{
break;
}
}
if(i>=MAXVEX)
{
cout<<"there is no vertex"<<endl;
return 0;
}
return i;
}

void CreateGraph(GraphList *g)
{
int i,j,k;
EdgeNode *e;
EdgeNode *f;
cout<<"输入顶点数和边数"<<endl;
cin>>g->numVertexs>>g->numEdges;
#ifdef DEBUG
cout<<g->numVertexs<<","<<g->numEdges<<endl;
#endif
for(i=0;i<g->numVertexs;i++)
{
cout<<"请输入顶点:"<<i<<endl;
g->adjList[i].data=getchar();//输入顶点信息
g->adjList[i].firstedge=NULL;//将边表置为空表
while(g->adjList[i].data=='\n')
{
g->adjList[i].data=getchar();
}
}
//建立边表
for(k=0;k<g->numEdges;k++)
{
cout<<"输入边（vi,vj）上的顶点序号："<<endl;
char p,q;
p=getchar();
while(p=='\n')
{
p=getchar();
}
q=getchar();
while(q=='\n')
{
q=getchar();
}
int m,n;
m=Locate(g,p);
n=Locate(g,q);
if(m==-1||n==-1)
{
return;
}
#ifdef DEBUG
cout<<p<<endl<<q<<endl<<m<<endl<<n<<endl;
#endif
//向内存申请空间，生成边表结点
e=(EdgeNode*)malloc(sizeof(EdgeNode));
if(e==NULL)
{
cout<<"malloc() errror."<<endl;
return;
}
//邻接序号为j
e->adjvex=n;
//将e指针指向当前顶点指向的结构
e->next=g->adjList[m].firstedge;
//将当前顶点的指针指向e
g->adjList[m].firstedge=e;

f=(EdgeNode*)malloc(sizeof(EdgeNode));
if(f==NULL)
{
cout<<"malloc() error."<<endl;
return;
}
f->adjvex=m;
f->next=g->adjList
.firstedge;
g->adjList
.firstedge=f;
}
}

void printGraph(GraphList *g)
{
int i=0;
#ifdef DEBUG
cout<<"printGraph() start."<<endl;
#endif
while(g->adjList[i].firstedge!=NULL&&i<g->numVertexs)
{
cout<<"顶点:"<<g->adjList[i].data;
EdgeNode *e=NULL;
e=g->adjList[i].firstedge;
while(e!=NULL)
{
cout<<e->adjvex<<" ";
e=e->next;
}
i++;
cout<<endl;
}
}

int main(int argc,char **argv)
{
GraphList g;
CreateGraph(&g);
printGraph(&g);
system("pause");
return 0;
}

对于无向图，一条边对应都是两个顶点，所以，在循环中，一次就针对i和j分布进行插入。

本算法的时间复杂度，对于n个顶点e条边来说，很容易得出是O(n+e)。

1.3 十字链表

对于有向图来说，邻接表是有缺陷的。关心了出度问题，想了解入度就必须要遍历整个图才知道，反之，逆邻接表解决了入度却不了解出度情况。下面介绍的这种有向图的存储方法：十字链表，就是把邻接表和逆邻接表结合起来的。

重新定义顶点表结点结构，如下所示。



其中firstin表示入边表头指针，指向该顶点的入边表中第一个结点，firstout表示出边表头指针，指向该顶点的出边表中的第一个结点。

重新定义边表结构，如下所示。



其中，tailvex是指弧起点在顶点表的下表，headvex是指弧终点在顶点表的下标，headlink是指入边表指针域，指向终点相同的下一条边，taillink是指边表指针域，指向起点相同的下一条边。如果是网，还可以增加一个weight域来存储权值。

比如下图，顶点依然是存入一个一维数组，实线箭头指针的图示完全与邻接表相同。就以顶点v0来说，firstout指向的是出边表中的第一个结点v3。所以，v0边表结点hearvex
= 3，而tailvex其实就是当前顶点v0的下标0，由于v0只有一个出边顶点，所有headlink和taillink都是空的。



重点需要解释虚线箭头的含义。它其实就是此图的逆邻接表的表示。对于v0来说，它有两个顶点v1和v2的入边。因此的firstin指向顶点v1的边表结点中headvex为0的结点，如上图圆圈1。接着由入边结点的headlink指向下一个入边顶点v2，如上图圆圈2。对于顶点v1，它有一个入边顶点v2，所以它的firstin指向顶点v2的边表结点中headvex为1的结点，如上图圆圈3。

十字链表的好处就是因为把邻接表和逆邻接表整合在一起，这样既容易找到以v为尾的弧，也容易找到以v为头的弧，因而比较容易求得顶点的出度和入度。

而且除了结构复杂一点外，其实创建图算法的时间复杂度是和邻接表相同的，因此，在有向图应用中，十字链表是非常好的数据结构模型。

这里就介绍以上三种存储结构，除了第三种存储结构外，其他的两种存储结构比较简单。

二、图的遍历

图的遍历和树的遍历类似，希望从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程就叫图的遍历。

对于图的遍历来说，如何避免因回路陷入死循环，就需要科学地设计遍历方案，通过有两种遍历次序方案：深度优先遍历和广度优先遍历。

2.1 深度优先遍历

深度优先遍历，也有称为深度优先搜索，简称DFS。其实，就像是一棵树的前序遍历。

它从图中某个结点v出发，访问此顶点，然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。若图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中的所有顶点都被访问到为止。

我们用邻接矩阵的方式，则代码如下所示。

#define MAXVEX 100//最大顶点数
typedef int Boolean;//Boolean是布尔类型，其值是TRUE或FALSE
Boolean visited[MAXVEX];//访问标志数组
#define TRUE 1
#define FALSE 0

//邻接矩阵的深度优先递归算法
void DFS(Graph g,int i)
{
int j;
visited[i]=TRUE;
cout<<g.vexs[i]<<" ";//打印顶点或进行其他操作
for(j=0;j<g.numVertexs;j++)
{
if(g.arc[i][j]==1&&!visited[j])
{
DFS(g,j);//对未访问的邻接顶点递归调用
}
}
}

//邻接矩阵的深度遍历操作
void DFSTraverse(Graph g)
{
int i;
for(i = 0; i < g.numVertexs; i++)
{
visited[i] = FALSE;         //初始化所有顶点状态都是未访问过状态
}
for(i = 0; i < g.numVertexs; i++)
{
if(!visited[i])             //对未访问的顶点调用DFS，若是连通图，只会执行一次
{
DFS(g,i);
}
}
}

如果使用的是邻接表存储结构，其DFSTraverse函数的代码几乎是相同的，只是在递归函数中因为将数组换成了链表而有不同，代码如下。

//邻接表的深度递归算法
void DFS(GraphList g,int i)
{
EdgeNode *p;
visited[i]=TRUE;
cout<<g.adjList[i].data<<" ";
p=g.adjList[i].firstedge;
while(p)
{
if(!visited[p->adjvex])
{
DFS(g,p->adjvex);
}
p=p->next;
}
}

//邻接表的深度遍历操作
void DFSTraverse(GraphList g)
{
int i;
for(i=0;i<g.numVertexs;i++)
{
visited[i]=FALSE;
}
for(i=0;i<g.numVertexs;i++)
{
if(!visited[i])
{
DFS(g,i);
}
}
}

对比两个不同的存储结构的深度优先遍历算法，对于n个顶点e条边的图来说，邻接矩阵由于是二维数组，要查找某个顶点的邻接点需要访问矩阵中的所有元素，因为需要O(n2)的时间。而邻接表做存储结构时，找邻接点所需的时间取决于顶点和边的数量，所以是O(n+e)。显然对于点多边少的稀疏图来说，邻接表结构使得算法在时间效率上大大提高。

2.2 广度优先遍历

广度优先遍历，又称为广度优先搜索，简称BFS。图的广度优先遍历就类似于树的层序遍历了。

邻接矩阵做存储结构时，广度优先搜索的代码如下。

//邻接矩阵的广度遍历算法
void BFSTraverse(Graph g)
{
int i, j;
Queue q;
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
visited[i] = FALSE;
}
InitQueue(&q);
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)//对每个顶点做循环
{
if(!visited[i])               //若是未访问过
{
visited[i] = TRUE;
printf("%c ", g.vexs[i]); //打印结点，也可以其他操作
EnQueue(&q, i);           //将此结点入队列
while(!QueueEmpty(q))     //将队中元素出队列，赋值给
{
int m;
DeQueue(&q, &m);
for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
{
//判断其他顶点若与当前顶点存在边且未访问过
if(g.arc[m][j] == 1 && !visited[j])
{
visited[j] = TRUE;
printf("%c ", g.vexs[j]);
EnQueue(&q, j);
}
}
}
}
}
}

对于邻接表的广度优先遍历，代码与邻接矩阵差异不大， 代码如下。

//邻接表的广度遍历算法
void BFSTraverse(GraphList g)
{
int i;
EdgeNode *p;
Queue q;
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
visited[i] = FALSE;
}
InitQueue(&q);
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
if(!visited[i])
{
visited[i] = TRUE;
printf("%c ", g.adjList[i].data);   //打印顶点，也可以其他操作
EnQueue(&q, i);
while(!QueueEmpty(q))
{
int m;
DeQueue(&q, &m);
p = g.adjList[m].firstedge;     找到当前顶点边表链表头指针
while(p)
{
if(!visited[p->adjvex])
{
visited[p->adjvex] = TRUE;
printf("%c ", g.adjList[p->adjvex].data);
EnQueue(&q, p->adjvex);
}
p = p->next;
}
}
}
}
}

对比图的深度优先遍历与广度优先遍历算法，会发现，它们在时间复杂度上是一样的，不同之处仅仅在于对顶点的访问顺序不同。可见两者在全图遍历上是没有优劣之分的，只是不同的情况选择不同的算法。

另一篇有关数据结构的文章：http://blog.csdn.net/jkay_wong/article/details/6661531