欧拉路的判定 http://hihocoder.com/problemset/problem/1176
2015-06-16 21:35
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http://hihocoder.com/problemset/problem/1176
小Ho:好麻烦啊,是我的话就随便走几步,到没路可走不就好了么! 小Hi:那样的话,收集的道具会少很多,万一以后要用到,又得重新读档了。小Ho:好吧,让我先想想。
<两分钟后>
小Ho:这个好像是一笔画问题哎,我们是在求一个方法能够一笔画出所有边吧?
小Hi:没错,这就是一笔画问题,不过它更正式的名字叫做欧拉路问题。其定义是
给定无孤立结点图G,若存在一条路,经过图中每边一次且仅一次,该条路称为欧拉路。
小Ho:既然有名字,那就证明这东西有解咯?
小Hi:没错,欧拉路是有判定条件的:一个无向图存在欧拉路当且仅当该图是连通的且有且只有2个点的度数是奇数,此时这两个点只能作为欧拉路径的起点和终点。
若图中没有奇数度的点,那么起点和终点一定是同一个点,这样的欧拉路叫做欧拉回路
对于任意一个点来说,从其他点到它的次数和从它到其他点的次数必然是相等的,否则就会出现出去次数和进入次数不同。若进入次数多,则该点位终点,若出去次数多则该点为起点。
对于一个无向图来说,进入和出去的次数恰好反映在度的数量上。所以奇数度的点至多只能有2个。
严格的证明的话:
若图G连通,有零个或两个奇数度结点,我们总有如下方法构造一条欧拉路:
若有两个奇数度结点,则从其中的一个结点开始构造一条迹,即从v[0]出发经关联边e[1]“进入”v[1],若v[1]的度数为偶数,则必可由v[1]再经关联边e[2]进入v[2],如此进行下去,每边仅取一次。由于G是连通的,故必可到达另一奇数度结点停下,得到一条迹L:v[0]-e[1]-v[1]-e[2]…v[i]-e[i+1]…v[k]。若G中没有奇数度结点则从任一结点v[0]出发,用上述方法必可回到结点v[0],得到上述一条闭迹L1。
若L1通过了G的所有边,则L1就是欧拉路。
若G中去掉L1后得到子图G′,则G′中每个结点度数为偶数,因为原来的图是连通的,故L1与G′至少有一个结点v[i]重合,在G′中由v[i]出发重复第一步的方法,得到闭迹L2。
当L1与L2组合在一起,如果恰是G,则即得欧拉路,否则重复第三步可得到闭迹L3,以此类推直到得到一条经过图G中所有边的欧拉路。
不妨看看前面的例子:
对于这个图来说,编号为4,5的点度数为奇数,其他为偶数。根据上面的性质,我们知道起点和终点一定是4、5节点。我们先从4开始随便画一条边直到无路可走:
在这一步中我们连接了4-5-6-3-2-5。根据欧拉路的构造,我们得到了L1。因为L1并没有走过所有的边,所以我们执行步骤3,可以发现对于4和2都是与子图G'重合的点,在子图上我们可以得到L2(2-4-1-2):
L1和L2合并就构成了欧拉路。
小Ho:既然有这个性质,那么我只需要计算每个点的度数就能知道能否走过所有的边了。
小Hi:没错,但是别忘了最重要的一点,需要整个图是连通的才行。
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