数据结构与算法分析 L3

大“O“操作符

算法的上界

定义：g(n)∈O(f(n))g(n)\in O(f(n))，当且仅当存在c, n0n_0，使得任意n≥n0n\geq n_0，有g(n)≤cf(n)g(n)\leq cf(n)。

极限定理

缩放定理

k是正常数，有O(kf(n))=O(f(n))O(kf(n)) = O(f(n))。

最大定理

O(f(n)+g(n))=O(max{f(n),g(n)})O(f(n)+g(n)) = O(max\{f(n), g(n)\})

参与运算的函数个数必须是有限的！

传递性

如果f(n)∈O(g(n))f(n)\in O(g(n)), 且g(n)∈O(h(n))g(n)\in O(h(n))，那么有f(n)∈O(h(n))f(n)\in O(h(n))

反射性

f(n)∈O(f(n))f(n)\in O(f(n))

特例：存在函数使得f(n)∉O(g(n))f(n)\notin O(g(n))且g(n)∉O(f(n))g(n)\notin O(f(n))。比如不连续的函数或者周期函数。

Ω操作符

算法的下界

Θ操作符

Θ(f(n))=O(f(n))⋂Ω(f(n)\Theta(f(n)) = O(f(n)) \bigcap\Omega(f(n)

算法渐进排序

如果Θ(tA(n))∈Θ((tB(n))\Theta(t_A(n))\in \Theta((t_B(n))，那么算法A和算法B是渐进相等的。